Nejprve si možná myslíte, že nekonečno dělené nekonečnem se rovná jedné. Koneckonců každé číslo dělené sebou samým se rovná jedné, avšak nekonečno není reálné ani racionální číslo. Chystám se dokázat, čemu se nekonečno dělené nekonečnem skutečně rovná, a odpověď se vám možná nebude líbit.
Nejprve definuji tento axiom (předpoklad), že nekonečno děleno nekonečnem se rovná jedné:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Jelikož ∞ = ∞ + ∞, pak v našem axiomu nahradíme první nekonečno:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Dalším krokem je rozdělení tohoto zlomku na dva zlomky:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Dále dosadíme do rovnice dvakrát axiom, dostaneme:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Konec lze přepsat takto:
| 2 | = 1 |
|---|
Tato rovnice je zjevně nesprávná. Nekonečno děleno nekonečnem tedy NENÍ rovno jedné. Místo toho můžeme získat libovolné reálné číslo rovné jedné, když předpokládáme, že nekonečno dělené nekonečnem je rovno jedné, takže nekonečno dělené nekonečnem je neurčité.
Pokud mi stále nevěříte, zkusíme to dokázat jinak. Začněme opět naším axiomem.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Následujte rozdělení tohoto zlomku na dvě části.
| ∞ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Řešte zlomek 1 dělený ∞. Na první pohled by vás mohlo napadnout, že 1 děleno ∞ je rovno 0, to však není správné, protože by to znamenalo, že 0 krát ∞ je rovno 1. A to zde prokazatelně není pravda. Nicméně 1 děleno ∞ se rovná limitě blížící se 0. Jinými slovy, 1 děleno ∞ se nerovná číslu nebo je neurčité.
| ∞ * | neurčeno | = 1 |
|---|
V důsledku toho jsme se dostali do slepé uličky. Nekonečno děleno nekonečnem je tedy stále neurčité.
od Phil for Humanity
dne 1. 7. 2007
.