Free Press

Příklad 1: Zkontrolujte následující věty.

	Každý trojúhelník má tři strany.
	Albany je hlavní město státu New York.
	Žádné prvočíslo není sudé.

Každá z těchto vět je věta uzavřená.

Definice:

Každá uzavřená věta v příkladu 1 má pravdivostní hodnotu buď pravdivou, nebo nepravdivou, jak je uvedeno níže.

	Každý trojúhelník má tři strany.	pravdivá
	Albany je hlavní město státu New York.	pravdivá
	Žádné prvočíslo není sudé.	nepravdivá

Všimněte si, že třetí věta je nepravdivá, protože 2 je prvočíslo. Je možné, že uzavřená věta bude mít v různých časech různé pravdivostní hodnoty. To je demonstrováno v následujícím příkladu 2.

Příklad 2:

	Dnes je úterý.
	Bill Clinton byl 42. prezidentem Spojených států.

Příklad 3: Prověřte následující věty.

	x + 3 = 7
	Složila zkoušku z matematiky.
	y – 4 = 11
	Je to můj bratr.

Věty v příkladu 3 jsou věty otevřené.

Definice: Otevřená věta je věta, která obsahuje proměnnou a stává se pravdivou nebo nepravdivou v závislosti na hodnotě, která proměnnou nahradí.

Podívejme se znovu na příklad 3. Tentokrát budeme u každé otevřené věty určovat proměnnou.

	x + 3 = 7	Proměnnou je x.
	Složila matematiku.	Proměnnou je ona.
	y – 4 = 11	Proměnnou je y.
	On je můj bratr.	Proměnnou je on.

Když jsme určili proměnné, můžeme analyzovat význam těchto otevřených vět. Věta 1 je pravdivá, pokud je x nahrazeno číslem 4, ale nepravdivá, pokud je x nahrazeno jiným číslem než 4. Věta 3 je pravdivá, pokud je y nahrazeno číslem 15, ale jinak nepravdivá. Věta 2 je buď pravdivá, nebo nepravdivá v závislosti na hodnotě proměnné „ona“. Podobně věta 4 je buď pravdivá, nebo nepravdivá v závislosti na hodnotě proměnné „on“. Souhrnně řečeno, pravdivostní hodnota každé otevřené věty závisí na tom, jakou hodnotou nahradíme proměnnou v dané větě.

Příklad 4:

Dáno:	Nechť p představuje: „Baseball je sport.“
	Nechť q představuje: „V jednom dolaru je 100 centů.“
	Nechť r představuje: „Dělá domácí úkoly.“
	Nechť s představuje: „Desetník není mince.“
Problém:	Napište každou následující větu pomocí symbolů a označte, zda je pravdivá, nepravdivá nebo otevřená.

Příklad 5:

Dáno:	Nechť p představuje uzavřenou větu „Číslo 9 je liché.“
Problém:	Co znamená ~p?“

V příkladu 5 máme najít negaci věty p.

Definice: Negace výroku p je „není p“. Negace výroku p je symbolizována znakem „~p“. Pravdivostní hodnota ~p je opakem pravdivostní hodnoty p.

Řešení: Protože p je pravdivé, ~p musí být nepravdivé.

p:	Číslo 9 je liché.	pravdivé
~p:	Číslo 9 není liché.	nepravdivé

Podívejme se na další příklady negace.

Příklad 6:

r:	7 < 5	false
~r:	7 5	pravda

Příklad 7:

a:	Součin dvou záporných čísel je kladné číslo.	pravdivý
~a:	Součin dvou záporných čísel není kladné číslo.	nepravdivý

K určení všech možných pravdivostních hodnot výroku a jeho negace můžeme sestrojit pravdivostní tabulku.

Definice: Pravdivostní tabulka nám pomáhá zjistit všechny možné pravdivostní hodnoty výroku. Každý výrok je buď pravdivý (T), nebo nepravdivý (F), ale ne obojí.

Souvislost:

Příklad 8: Sestavte pravdivostní tabulku pro negaci x.

Příklad 8: Sestavte pravdivostní tabulku pro negaci x.

Řešení:

x	~x
T	F
F	T

V příkladu 8, když je x pravdivé, ~x je nepravdivé; a když je x nepravdivé, ~x je pravdivé. Z této pravdivostní tabulky vidíme, že výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty.

Příklad 9: Sestavte pravdivostní tabulku pro negaci výroku p.

Řešení:

p	~p
T	F
F	T

Můžeme také negovat negaci. Například negace ~p je ~(~p) nebo p. To je znázorněno v následujícím příkladu.

Příklad 10: Sestavte pravdivostní tabulku pro negaci p a pro negaci ne p.

Řešení:

.

p	~p	~(~p)
T	F	T
F	T	F

Souhrn: Výrok je věta, která je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Uzavřená věta je objektivní výrok, který je buď pravdivý, nebo nepravdivý. Otevřená věta je výrok, který obsahuje proměnnou a stává se buď pravdivým, nebo nepravdivým v závislosti na hodnotě, která proměnnou nahradí. Negace výroku p je „not p“, symbolizovaná znakem „~p“. Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty.

Cvičení

Návod: Jaké jsou pravdivostní hodnoty výroku? Přečtěte si jednotlivé otázky níže. Vyberte odpověď kliknutím na její tlačítko. Zpětná vazba k vaší odpovědi je uvedena v rámečku VÝSLEDKY. Pokud uděláte chybu, vyberte jiné tlačítko.

	Která z následujících vět je věta uzavřená?

	Co je negací věty „Jenny jezdí autobusem“?

	Které z následujících slov je negací x?

	Dáno: a: Trojúhelník není mnohoúhelník. b: Čtverec je obdélník. Problém: Které z následujících tvrzení je negací tvrzení „Trojúhelník není mnohoúhelník“?

	Která z následujících vět je věta otevřená?

.