Free Press

Esimerkki 1: Tutki alla olevia lauseita.

	Jokaiseen kolmioon kuuluu kolme sivua.
	Albany on New Yorkin osavaltion pääkaupunki.
	Ei yksikään alkuluku ole parillinen.

Jokainen näistä lauseista on suljettu lause.

Määritelmä: Suljettu lause on objektiivinen lausuma, joka on joko tosi tai epätosi.

Siten jokaisella esimerkin 1 suljetulla lauseella on totuusarvo joko tosi tai epätosi, kuten alla on esitetty.

	Jokaiseen kolmioon kuuluu kolme sivua.	tosi
	Albany on New Yorkin osavaltion pääkaupunki.	tosi
	Ei yksikään alkuluku ole parillinen.	tosi

Huomauta, että kolmas virke on epätosi, koska 2 on alkuluku. On mahdollista, että suljetulla lauseella on eri aikoina eri totuusarvot. Tämä osoitetaan alla olevassa esimerkissä 2.

Esimerkki 2:

	Tänään on tiistai.
		Bill Clinton oli Yhdysvaltain 42. presidentti.

Esimerkki 3: Tutki alla olevia lauseita.

	x + 3 = 7
	Hän läpäisi matematiikan.
	y – 4 = 11
	Hän on veljeni.

Esimerkin 3 lauseet ovat avoimia lauseita.

Määritelmä: Avoin lause on lauseke, joka sisältää muuttujan ja muuttuu joko todeksi tai epätodeksi riippuen muuttujan korvaavasta arvosta.

Katsotaanpa vielä esimerkkiä 3. Tällä kertaa tunnistamme muuttujan jokaisesta avoimesta lauseesta.

	x + 3 = 7	Muuttuja on x.
		Hän on läpäissyt matematiikan.	Muuttuja on hän.
	y – 4 = 11	Muuttuja on y.
	Hän on veljeni.	Muuttuja on hän.

Nyt, kun olemme tunnistaneet muuttujat, voimme analysoida näiden auki olevien lauseiden merkitystä. Lause 1 on tosi, jos x korvataan luvulla 4, mutta epätosi, jos x korvataan muulla luvulla kuin 4. Lause 3 on tosi, jos y korvataan luvulla 15, mutta muuten epätosi. Lause 2 on joko tosi tai epätosi riippuen muuttujan ”hän” arvosta. Vastaavasti lause 4 on joko tosi tai epätosi muuttujan ”hän” arvosta riippuen. Yhteenvetona voidaan todeta, että jokaisen avoimen lauseen totuusarvo riippuu siitä, millä arvolla muuttuja korvataan kyseisessä lauseessa.

Esimerkki 4:

Annetaan:	Asettakaamme p:n esittävän: ”Baseball on urheilulaji.”
	Tulkoon q edustamaan: ”Dollarissa on 100 senttiä.”
	Tulkoon r edustamaan: ”Hän tekee kotitehtävänsä.”
	Tulkoon s edustamaan: ”Kymppikolikko ei ole kolikko.”
Tehtävä:	Kirjoita kukin alla oleva lause käyttäen symboleja ja ilmoita, onko se tosi, epätosi vai avoin.

Esimerkki 5:

Annettu:	Asettakaamme p:n edustamaan suljettua lausetta ”Luku 9 on pariton.”
Ongelma:	Mitä ~p tarkoittaa?

Esimerkissä 5 meitä pyydetään löytämään p:n negaatio.

Määritelmä: Lausuman p negaatio on ”ei p”. Lauseen p negaatiota symboloi ”~p”. ~p:n totuusarvo on p:n totuusarvon vastakohta.

Ratkaisu: Koska p on tosi, ~p:n täytyy olla epätosi.

p:	Luku 9 on pariton.	tosi
~p:	Luku 9 ei ole pariton.	väärin

Katsotaan vielä muutamia esimerkkejä negaatiosta.

Esimerkki 6:

r:	7 < 5	false
~r:	7 5	tosi

Esimerkki 7:

a:	Kahden negatiivisen luvun tulo on positiivinen luku.	tosi
~a:	Kahden negatiivisen luvun tulo ei ole positiivinen luku.	väärin

Voidaan konstruoida totuustaulukko, jonka avulla saadaan selville kaikki mahdolliset totuusarvot väitteelle ja sen negaatiolle.

Määritelmä: Totuustaulukko auttaa meitä löytämään kaikki väitteen mahdolliset totuusarvot. Jokainen väite on joko tosi (T) tai epätosi (F), mutta ei molempia.

Yhteys:

Esimerkki 8: Rakenna totuustaulukko x:n negaatiolle.

Ratkaisu:

x	~x
T	T
F	T

Esimerkissä 8, kun x on tosi, ~x on epätosi; ja kun x on epätosi, ~x on tosi. Tästä totuustaulukosta nähdään, että väitteellä ja sen negaatiolla on vastakkaiset totuusarvot.

Esimerkki 9: Rakenna totuustaulukko p:n negaatiolle.

Ratkaisu:

p	~p
T	F
F	T

Voidaan myös kieltää negaatio. Esimerkiksi ~p:n negaatio on ~(~p) tai p. Tätä havainnollistetaan alla olevassa esimerkissä.

Esimerkki 10: Rakenna totuustaulukko p:n negaatiolle ja ei-p:n negaatiolle.

Ratkaisu:

p	~p	~(~p)
T	F	T
F	T	F

Summary: Väite on lause, joka on joko tosi tai epätosi. Suljettu lause on objektiivinen väite, joka on joko tosi tai epätosi. Avoin lause on lausuma, joka sisältää muuttujan ja josta tulee joko tosi tai epätosi riippuen muuttujan korvaavasta arvosta. Lauseen p negaatio on ”ei p”, jota symboloi ”~p”. Lausumalla ja sen negaatiolla on vastakkaiset totuusarvot.

Harjoituksia

Ohjeita: Lue jokainen alla oleva kysymys. Valitse vastauksesi klikkaamalla sen painiketta. Palaute vastauksestasi annetaan TULOKSET-laatikossa. Jos teet virheen, valitse toinen painike.

	Mikä seuraavista on suljettu lause?

	Mikä on negaatio lauseesta ”Jenny kulkee bussilla”?

	Mikä seuraavista on x:n negaatio?

	Given: a: Kolmio ei ole monikulmio. b: Neliö on suorakulmio. Tehtävä: Mikä seuraavista on negaatio lauseelle ”Kolmio ei ole monikulmio”?

		Mikä seuraavista on avoin lause?