Aluksi saatat ajatella, että ääretön jaettuna äärettömyydellä vastaa yhtä. Loppujen lopuksi mikä tahansa luku jaettuna itsellään on yhtä suuri kuin yksi, mutta ääretön ei kuitenkaan ole reaalinen tai rationaalinen luku. Aion todistaa, mitä ääretön jaettuna äärettömyydellä todella on, etkä ehkä pidä vastauksesta.
Ensin määrittelen tämän aksiooman (oletuksen), jonka mukaan ääretön jaettuna äärettömällä on yhtä kuin yksi:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Koska ∞ = ∞ + ∞, niin aiomme korvata ensimmäisen äärettömyyden aksioomallamme:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Seuraavaksi jaamme tämän murtoluvun kahdeksi:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Seuraavaksi, kun korvaamme aksiooman kahteen kertaan yhtälöön, saamme:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Viimeiseksi tämä voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
| 2 | = 1 |
|---|
Tämä yhtälö on selvästi virheellinen. Siksi ääretön jaettuna äärettömyydellä EI ole yhtä kuin yksi. Sen sijaan voimme saada minkä tahansa reaaliluvun yhtä suureksi kuin yksi, kun oletamme äärettömyyden jaettuna äärettömyydellä olevan yhtä suuri kuin yksi, joten äärettömyys jaettuna äärettömyydellä on määrittelemätön.
Jos et vieläkään usko minua, yritetään todistaa tämä toisella tavalla. Aloitetaan taas aksioomastamme.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Jatketaan jakamalla tämä murtoluku kahteen osaan.
| ∞ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Ratkaise murtoluku 1 jaettuna ∞:llä. Aluksi luulisi, että 1 jaettuna ∞:llä on yhtä kuin 0, mutta se ei pidä paikkaansa, koska silloin 0 kertaa ∞ olisi yhtä kuin 1. Ja se ei todistetusti pidä paikkaansa tässä. Kuitenkin 1 jaettuna ∞:llä on yhtä suuri kuin raja-arvo, joka lähestyy 0:a. Toisin sanoen 1 jaettuna ∞:llä ei ole yhtä suuri luku tai se on määrittelemätön.
| ∞ * | määrittelemätön | = 1 |
|---|
Tuloksena pääsimme umpikujaan. Siksi ääretön jaettuna äärettömyydellä on edelleen määrittelemätön.
Phil for Humanity
on 01/07/2007