Esempio 1: Esaminate le frasi seguenti.
| Ogni triangolo ha tre lati. | |
| Albany è la capitale dello Stato di New York. | |
| Nessun numero primo è pari. |
Ognuna di queste frasi è una frase chiusa.
Definizione: Una frase chiusa è un’affermazione oggettiva che è vera o falsa.
Quindi, ogni frase chiusa nell’esempio 1 ha un valore di verità o vero o falso come mostrato qui sotto.
| Ogni triangolo ha tre lati. | vero | |
| Albany è la capitale dello Stato di New York. | vero | |
| Nessun numero primo è pari. | falso |
Nota che la terza frase è falsa poiché 2 è un numero primo. È possibile che una frase chiusa abbia diversi valori di verità in momenti diversi. Questo è dimostrato nell’esempio 2 qui sotto.
Esempio 2:
| Oggi è martedì. | |
| Bill Clinton è stato il 42° presidente degli Stati Uniti. |
Esempio 3: Esaminate le frasi seguenti.
| x + 3 = 7 | |
| Ha superato matematica. | |
| y – 4 = 11 | |
| E’ mio fratello. |
Le frasi dell’esempio 3 sono frasi aperte.
Definizione: Una frase aperta è una dichiarazione che contiene una variabile e diventa vera o falsa a seconda del valore che sostituisce la variabile.
Diamo un’altra occhiata all’esempio 3. Questa volta identificheremo la variabile per ogni frase aperta.
| x + 3 = 7 | La variabile è x. | |
| Ha superato matematica. | La variabile è lei. | |
| y – 4 = 11 | La variabile è y. | |
| E’ mio fratello. | La variabile è lui. |
Ora che abbiamo identificato le variabili, possiamo analizzare il significato di queste frasi aperte. La frase 1 è vera se x è sostituito da 4, ma falsa se x è sostituito da un numero diverso da 4. La frase 3 è vera se y è sostituito da 15, ma falsa altrimenti. La frase 2 è vera o falsa a seconda del valore della variabile “lei”. Allo stesso modo, la frase 4 è vera o falsa a seconda del valore della variabile “lui”. In sintesi, il valore di verità di ogni frase aperta dipende da quale valore viene usato per sostituire la variabile in quella frase.
Esempio 4:
| Dato: | Lascia che p rappresenti: “Il baseball è uno sport.” |
| Lascia che q rappresenti: “Ci sono 100 centesimi in un dollaro.” | |
| Lascia che r rappresenti: “Lei fa i compiti.” | |
| Lascia che s rappresenti: “Una moneta da dieci centesimi non è una moneta.” | |
| Problema: | Scrivi ogni frase qui sotto usando dei simboli e indica se è vera, falsa o aperta. |
Esempio 5:
| Dato: | Lascia che p rappresenti la frase chiusa “Il numero 9 è dispari.” |
| Problema: | Cosa significa ~p? |
Nell’esempio 5 ci viene chiesto di trovare la negazione di p.
Definizione: La negazione dell’affermazione p è “non p”. La negazione di p è simboleggiata da “~p”. Il valore di verità di ~p è l’opposto del valore di verità di p.
Soluzione: Poiché p è vero, ~p deve essere falso.
| p: | Il numero 9 è dispari. | vero |
| ~p: | Il numero 9 non è dispari. | falso |
Vediamo altri esempi di negazione.
Esempio 6:
| r: | 7 < 5 | falso |
| ~r: | 7  5 |
vero |
Esempio 7:
| a: | il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. | vero |
| ~a: | Il prodotto di due numeri negativi non è un numero positivo. | falso |
Possiamo costruire una tavola della verità per determinare tutti i possibili valori di verità di un’affermazione e la sua negazione.
Definizione: Una tabella di verità ci aiuta a trovare tutti i possibili valori di verità di un’affermazione. Ogni affermazione è vera (T) o falsa (F), ma non entrambe.
Collegamento: Per aiutarci a ricordare questa definizione, pensate ad un computer, che è acceso o spento, ma non entrambi.
Esempio 8: Costruire una tabella di verità per la negazione di x.
Soluzione:
| x | ~x |
| T | F |
| F | T |
Nell’esempio 8, quando x è vero, ~x è falso; e quando x è falso, ~x è vero. Da questa tabella di verità, possiamo vedere che un’affermazione e la sua negazione hanno valori di verità opposti.
Esempio 9: Costruire una tabella di verità per la negazione di p.
Soluzione:
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
Possiamo anche negare una negazione. Per esempio, la negazione di ~p è ~(~p) o p. Questo è illustrato nell’esempio seguente.
Esempio 10: Costruire una tabella di verità per la negazione di p, e per la negazione di non p.
Soluzione:
| p | ~p | ~(~p) |
| T | F | T |
| F | T |
F |
Sommario: Un’affermazione è una frase che è vera o falsa. Una frase chiusa è un’affermazione oggettiva che è vera o falsa. Una frase aperta è un’affermazione che contiene una variabile e diventa vera o falsa a seconda del valore che sostituisce la variabile. La negazione dell’affermazione p è “non p”, simboleggiata da “~p”. Un’affermazione e la sua negazione hanno valori di verità opposti.
Esercizi
Direzioni: Leggi ogni domanda qui sotto. Seleziona la tua risposta cliccando sul relativo pulsante. Il feedback alla tua risposta è fornito nel BOX RISULTATI. Se fai un errore, scegli un bottone diverso.
| Quale delle seguenti è una frase chiusa? | |
| Qual è la negazione di “Jenny va in autobus”? | |
| Quale delle seguenti è la negazione di x? | |
|
||||||
| Quale delle seguenti è una frase aperta? |