Na początku możesz pomyśleć, że nieskończoność podzielona przez nieskończoność równa się jeden. W końcu każda liczba podzielna przez siebie jest równa jeden, jednak nieskończoność nie jest liczbą rzeczywistą ani racjonalną. Mam zamiar udowodnić, co nieskończoność podzielona przez nieskończoność naprawdę równa się, a odpowiedź może ci się nie spodobać.
Po pierwsze, zamierzam zdefiniować ten aksjomat (założenie), że nieskończoność podzielona przez nieskończoność jest równa jeden:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Ponieważ ∞ = ∞ + ∞, to w naszym aksjomacie podstawimy pierwszą nieskończoność:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Kolejnym krokiem jest podzielenie tego ułamka na dwa ułamki:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Następnie, podstawiając aksjomat dwukrotnie do równania, otrzymujemy:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Wreszcie można to przepisać jako:
| 2 | = 1 |
|---|
To równanie jest oczywiście niepoprawne. Dlatego nieskończoność podzielona przez nieskończoność NIE jest równa jeden. Zamiast tego możemy uzyskać dowolną liczbę rzeczywistą równą jeden, gdy przyjmiemy, że nieskończoność podzielona przez nieskończoność jest równa jeden, więc nieskończoność podzielona przez nieskończoność jest niezdefiniowana.
Jeśli nadal mi nie wierzysz, spróbujmy udowodnić to w inny sposób. Zacznijmy znów od naszego aksjomatu.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Następnie podzielmy ten ułamek na dwie części.
| ∞ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Rozwiąż ułamek 1 podzielny przez ∞. Na początku można by pomyśleć, że 1 podzielone przez ∞ jest równe 0, jednak nie jest to poprawne, ponieważ oznaczałoby to, że 0 razy ∞ jest równe 1. A to, jak udowodniono, nie jest prawdą. Jednak 1 podzielone przez ∞ jest równe granicy zbliżającej się do 0. Innymi słowy, 1 podzielone przez ∞ nie jest równe liczbie lub jest nieokreślone.
| ∞ * | nieokreślona | = 1 |
|---|
W rezultacie doszliśmy do ślepego zaułka. Dlatego nieskończoność podzielona przez nieskończoność jest nadal nieokreślona.
by Phil for Humanity
on 01/07/2007
.