Free Press

Przykład 1: Przeanalizuj poniższe zdania.

	Każdy trójkąt ma trzy boki.
	Albany jest stolicą stanu Nowy Jork.
	Żadna liczba pierwsza nie jest parzysta.

Każde z tych zdań jest zdaniem zamkniętym.

Definicja: Zdanie zamknięte to obiektywne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

Tak więc, każde zdanie zamknięte w Przykładzie 1 ma wartość prawdy albo prawdziwą, albo fałszywą, jak pokazano poniżej.

	Każdy trójkąt ma trzy boki.	prawda
	Albany jest stolicą stanu Nowy Jork.	prawda
	Żadna liczba pierwsza nie jest parzysta.	fałsz

Zauważmy, że trzecie zdanie jest fałszywe, ponieważ 2 jest liczbą pierwszą. Jest możliwe, że zdanie zamknięte będzie miało różne wartości prawdy w różnym czasie. Pokazuje to poniższy Przykład 2.

Przykład 2:

	Dzisiaj jest wtorek.
	Bill Clinton był 42. prezydentem Stanów Zjednoczonych.

Przykład 3: Przeanalizuj poniższe zdania.

	x + 3 = 7
	Zdała matematykę.
	y – 4 = 11
	On jest moim bratem.

Zdania w przykładzie 3 są zdaniami otwartymi.

Definicja: Zdanie otwarte to wypowiedź, która zawiera zmienną i staje się prawdą lub fałszem w zależności od wartości, która zastępuje tę zmienną.

Przyjrzyjrzyjmy się jeszcze raz Przykładowi 3. Tym razem zidentyfikujemy zmienną dla każdego zdania otwartego.

	x + 3 = 7	Zmienna to x.
	Zdała matematykę.	Zmienna to ona.
	y – 4 = 11	zmienną jest y.
	On jest moim bratem.	zmienną jest on.

Teraz, gdy zidentyfikowaliśmy zmienne, możemy przeanalizować znaczenie tych zdań otwartych. Zdanie 1 jest prawdziwe, jeśli x jest zastąpione przez 4, ale fałszywe, jeśli x jest zastąpione przez liczbę inną niż 4. Zdanie 3 jest prawdziwe, jeśli y jest zastąpione przez 15, ale fałszywe w przeciwnym przypadku. Zdanie 2 jest albo prawdziwe, albo fałszywe w zależności od wartości zmiennej „ona”. Podobnie, zdanie 4 jest albo prawdziwe, albo fałszywe w zależności od wartości zmiennej „on”. Podsumowując, wartość prawdy każdego zdania otwartego zależy od tego, jaka wartość zostanie użyta do zastąpienia zmiennej w tym zdaniu.

Przykład 4:

Dane:	Let p represent, „Baseball is a sport.”
	Let q represent, „There are 100 cents in a dollar.”
	Let r represent, „She does her homework.”
	Let s represent, „A dime is not a coin.”
Problem:	Zapisz każde poniższe zdanie używając symboli i wskaż, czy jest ono prawdziwe, fałszywe czy otwarte.

Przykład 5:

Dane:	Let p represent the closed sentence „The number 9 is odd.”
Problem:	Co oznacza ~p?

W przykładzie 5 jesteśmy proszeni o znalezienie negacji zdania p.

Definicja: Negacją stwierdzenia p jest „nie p”. Negacja stwierdzenia p jest symbolizowana przez „~p.” Wartość prawdy ~p jest przeciwieństwem wartości prawdy p.

Rozwiązanie: Skoro p jest prawdziwe, ~p musi być fałszywe.

p:	Liczba 9 jest nieparzysta.	true
~p:	Liczba 9 nie jest nieparzysta.	false

Przyjrzyjrzyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom negacji.

Przykład 6:

r:	7 < 5	false
~r:	7 5	true

Przykład 7:

a:	Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.	true
~a:	Iloczyn dwóch liczb ujemnych nie jest liczbą dodatnią.	false

Możemy skonstruować tabelę prawdy, aby określić wszystkie możliwe wartości prawdy stwierdzenia i jego negacji.

Definicja: Tablica prawdy pomaga nam znaleźć wszystkie możliwe wartości prawdy danego stwierdzenia. Każde stwierdzenie jest albo Prawdziwe (T) albo Fałszywe (F), ale nie oba.

Związek: Aby pomóc nam zapamiętać tę definicję, pomyśl o komputerze, który jest albo włączony, albo wyłączony, ale nie oba.

Przykład 8: Skonstruuj tabelę prawdy dla negacji x.

Rozwiązanie:

x	~x
T	F
F	T

W przykładzie 8, gdy x jest prawdziwe, ~x jest fałszywe; a gdy x jest fałszywe, ~x jest prawdziwe. Z tej tabeli prawdy widać, że stwierdzenie i jego negacja mają przeciwne wartości prawdy.

Przykład 9: Skonstruuj tabelę prawdy dla negacji p.

Rozwiązanie:

p	~p
T	F
F	T

Możemy również zanegować negację. Na przykład negacją ~p jest ~(~p) lub p. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład 10: Skonstruuj tablicę prawdy dla negacji p, oraz dla negacji not p.

Rozwiązanie:

.

p	~p	~(~p)
T	F	T
F	T	F

Podsumowanie: Stwierdzenie to zdanie, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Zdanie zamknięte jest obiektywnym stwierdzeniem, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Zdanie otwarte to zdanie, które zawiera zmienną i staje się prawdziwe lub fałszywe w zależności od wartości, która zastępuje tę zmienną. Zaprzeczeniem stwierdzenia p jest „nie p”, symbolizowane przez „~p”. Stwierdzenie i jego zaprzeczenie mają przeciwne wartości prawdy.

Ćwiczenia

Directions: Przeczytaj każde z poniższych pytań. Wybierz swoją odpowiedź klikając na jej przycisk. Informacja zwrotna dotycząca Twojej odpowiedzi znajduje się w POLU WYNIKOWYM. Jeśli popełnisz błąd, wybierz inny przycisk.

	Które z poniższych zdań jest zdaniem zamkniętym?

	Jakie jest zaprzeczenie zdania „Jenny jeździ autobusem”?

	Które z poniższych zdań jest zaprzeczeniem x?

	Dane: a: Trójkąt nie jest wielokątem. b: Kwadrat jest prostokątem. Problem: Które z poniższych stwierdzeń jest zaprzeczeniem stwierdzenia „Trójkąt nie jest wielokątem”?

	Które z poniższych zdań jest zdaniem otwartym?

.