Free Press

předchozí rejstřík další PDF

Applet zde!

Michael Fowler

Konečná účinnost paliva pro tepelný motor

Všechny standardní tepelné motory (parní, benzinové, naftové) pracují tak, že dodávají teplo plynu, plyn se pak rozpíná ve válci a tlačí píst, aby vykonal svou práci. Je tedy snadné vidět, jakproměnit teplo v práci, ale je to jednorázová záležitost. Potřebujeme, aby se to opakovalo, abychom měli užitečný motor. Teplo a/nebo plyn proto musí být z válce vypuštěno dříve, než začne další cyklus, jinak se veškerá práce, kterou plyn vykonal při rozpínání, spotřebuje na jeho zpětné stlačení!“

Naším cílem v této přednášce je zjistit, jak účinný může takový tepelný motor být: jakou největší práci můžeme při daném množství paliva v cyklickém procesu získat? Prozkoumáme zde model rozebraný na základní prvky: ideální plyn je uzavřen ve válci s vnějšími tepelnými spoji, které dodávají a odebírají teplo, a s pístem bez tření, kterým plyn vykonává (a v případě potřeby pohlcuje) mechanickou práci:

Tento nejjednodušší tepelný motor se nazývá Carnotův motor, u něhož jeden úplný cyklus ohřevu/chlazení,rozpínání/smršťování zpět na původní objem a teplotu plynu je Carnotův cyklus, pojmenovaný po Sadi Carnotovi, který v roce 1820 odvodil správný vzorec pro maximální možnou účinnost takového tepelného motoru z hlediska maximální a minimální teploty plynu během cyklu.

Carnotův výsledek spočíval v tom, že pokud je maximální teplota horkého plynu dosažená T H a nejchladnější teplota během cyklu je T C , (stupně kelvinů, nebo spíše jen kelvinů, samozřejmě), je podíl vložené tepelné energie, který vyjde jako mechanická práce , nazývaný účinnost,

Efficiency = T H – T C T H .

To byl úžasný výsledek, protože byl přesně správný,přestože vycházel z naprostého nepochopení podstaty tepla!

Jak bylo pochopení účinnosti vodního kola klíčem k pochopení tepelného motoru

Carnot věřil, že teplo, stejně jako elektřina, je tekutina, která proudí z horkých věcí do studených (a nějakým způsobem prostorem jako záření).

Co motivovalo Carnota k pokusu o výpočet energetické účinnosti páry v roce 1820? Inu, byla to doba průmyslové revoluce a účinnost dodávek energie určovala ziskovou marži.

Velké motory se používaly především při hromadné výrobě látek, v továrnách zvaných mlýny. Až do konce roku 1700 byly tyto mlýny umístěny u rychle tekoucích řek, zdrojem energie bylo velké vodní kolo, otáčelo dlouhou rotující tyčí, která se táhla po celé délce továrny. Lana odebírala energii z kladek na tomto táhle a otáčela jednotlivými tkalcovskými stavy, které obsluhovali nekvalifikovaní dělníci, často děti. Obrázek níže je mnohem pozdější (1914) a je poháněn párou, ale ukazuje schéma pohonu.

Parní stroj nabízel atraktivní alternativu: nemusel být v blízkosti řeky. Na rozdíl od vodního mlýna však potřeboval jako palivo uhlí nebo dřevo.

Protože hlavním zdrojem průmyslové energie až do konce roku 1800 bylo vodní kolo, hodně se přemýšlelo o tom, aby bylo co nejúčinnější, a protože Carnot považoval teplo za tekutinu, použil při analýze parního stroje myšlenky vodního kola. Jak tedy udělat vodní kolo co nejúčinnější?

Voda ztrácí potenciální energii, když je unášena dolů kolem, takže největší možná energie je mgh wattů, kde m je hmotnost vody protékající za sekundu. (Zanedbáváme možný příspěvek kinetické energie od rychle přitékající vody – to je velmi malý efekt a v analýze Carnotova tepelného motoru se neuplatňuje)

Jak se ztrácí energie? Je zřejmé, že v kole potřebujeme co nejmenší tření. Musí docházet k plynulému proudění: žádná voda se nesmí rozstřikovat.

Voda musí proudit do kola a z kola, aniž by klesla do značné výšky,jinak ztratí tolik potenciální energie, aniž by vykonala práci.

Dokonalé vodní kolo by bylo vratné: dalo by se použít k pohonu své kopie dozadu, aby za sekundu zvedlo stejné množství vody, které spadlo.

Na okraj : Moderní vodní kolo ve Virginii

Ve Virginii existuje docela účinné vodní kolo: má asi 80% účinnost – vodní přečerpávací elektrárna v BathCounty. Jedná se o vodní kolo, vlastně turbínu,ale to se rovná stejné věci lépe navržené, která funguje oběma směry. Voda z horního jezera padá potrubímdo turbíny a dolního jezera a vyrábí elektrickou energii. Alternativně může být elektrická energie dodávána k čerpání vody zpět nahoru. Proč se tím zabývat? Protože poptávka po elektřiněje proměnlivá a je lepší se pokud možno vyhnout budování elektráren, které jsou v provozu pouze v době špičkové poptávky. V době nízké poptávky je lepší energii skladovat.

Pokles h je asi 1200 stop, tedy 380 metrů. Průtok je asi tisíc tun za sekundu. Elektrárna vyrábí asi 3 gigawatty, což je podstatně více než jaderná elektrárna se dvěma bloky, například North Anna.

Carnotův nápad: „vodní kolo“ pro teplo

Carnotovo přesvědčení, že teplo je tekutina (dodnes si jeho proudění takto představujeme, když uvažujeme o vedení tepla nebo třeba o vaření), ho vedlo k analýze parního stroje inparalelně s vodním kolem. Ve vodním kole voda padá přes rozdíl gravitačních potenciálů a tato potenciální energie se v kole mění na práci. „Elektrickou kapalinu“ nyní vnímáme jako kapalinu, která ztrácí elektrickou potenciální energii a produkuje práci nebo teplo. Jak je to tedy s teplem „kalorické kapaliny“ (jak se jí říkalo)? Je zřejmé, že analogií ke gravitačnímupotenciálu je právě teplota! Jak se plyn ve válci rozpíná, koná práci, ale jeho teplota klesá.

Carnot předpokládal, že parní stroj není nic jiného než vodní kolo pro tuto kalorickou tekutinu, takže nejefektivnější motor bude mít minimální tření, ale také, analogicky s vodou vstupující a vystupující z kola jemně bez mezistupně ztráty výšky, bude teplo vstupovat a vystupovat z plynu v motoru izotermicky (nezapomeňte, že teplota je analogická gravitačnímu potenciálu, tedy výšce). Proto analogicky s gh měří pokles teploty T H – T C potenciální energii odevzdanou jednotkou množství „tepelné kapaliny“.

Nejúčinnější parní stroj by měl izotermickou výměnu tepla (zanedbatelné teplotní rozdíly při výměně tepla), podobně jako nejúčinnější vodní kolo (pouze nepatrný pokles při vstupu a výstupu vody do kola). To je samozřejmě teoretická hranice: určitý pokles je pro provoz nezbytný. Důležité však je, že v mezích dokonalé účinnosti jsou motor i vodní kolo reverzibilní – pokud by jim byla dodána práce, mohly by ji přeměnit na stejné množství tepla, které by potřebovaly k výrobě této práce na prvním místě.

Ale jak to souvisí s energií vynaloženou na výrobu tepla na prvním místě? No, Carnot věděl něco jiného: existuje absolutní nula teploty. Proto usoudil, že pokud tekutinu ochladíte na absolutní nulu, odevzdá veškerou svou tepelnou energii. Takže maximální možné množství energie, které můžete získat ochlazením z T H na T C, je, jaký zlomek je to při ochlazení na absolutní nulu?

Je to právě T H – T C T H !

Kalorický obraz kapaliny samozřejmě není správný, ale tento výsledek ano! To je maximální účinnost dokonalého motoru: a nezapomeňte, že tento motor je vratný. Později si ukážeme, jak tuto důležitou skutečnost využít.

Účinné využití horkého plynu: Nyní se věnujme podrobnostem, jak ze zahřátého plynu získat co nejvíce práce. Chceme, aby byl proces co nejblíže vratnému: existují dva způsoby, jak vratně pohybovat pístem: izotermicky, což znamená, že teplo postupně proudí dovnitř nebo ven, ze zásobníku o teplotě nekonečně odlišné od teploty plynu v pístu, a adiabaticky, při kterém nedochází k žádné výměně tepla, plyn se chová jako pružina.

Při dodávání tepla a rozpínání plynu musí tedy teplota plynu zůstat stejná jako teplota zdroje tepla („zásobníku tepla“): plyn se rozpíná izotermicky. Stejně tak se musí izotermicky smršťovat v pozdější fázi cyklu, když se zbavuje tepla.

Chceme-li zjistit účinnost, musíme sledovat celý cyklus motoru a zjistit, kolik práce vykoná, kolik tepla přijme z paliva a kolik tepla odvede při přípravě na další cyklus. Možná se budete chtít podívat na applet, abyste si udělali obrázek v tomto bodě: cyklus má čtyři kroky, izotermickou expanzi, kdy je teplo absorbováno, následuje adiabatická expanze, pak izotermická kontrakce, kdy je teplo odváděno, a nakonec adiabatická kontrakce do původní konfigurace. Vezmeme to postupně.

Krok 1: Izotermická expanze

První otázka tedy zní: Kolik tepla se dodá a kolik práce se vykoná, když plyn izotermicky expanduje? Vezmeme-li teplotu zásobníku tepla T H ( H jako horký), pak expandující plyn sleduje izotermickou dráhu PV=nR T H v rovině ( P,V ).

Práce vykonaná plynem při malé objemové expanzi ΔV je právě PΔV, plocha pod křivkou (jak jsme dokázali na minulé přednášce).

Tedy práce vykonaná při izotermickém rozpínání z objemu V a na V b je celková plocha pod křivkou mezi těmito hodnotami,

práce vykonaná izotermicky= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Během této expanze nedochází ke změně jeho vnitřní energie, takže celkové dodané teplo musí být nR T H ln V b V a , což je stejné jako vnější práce, kterou plyn vykonal.

Ve skutečnosti je tato izotermická expanze pouze prvním krokem:plyn má teplotu zásobníku tepla, je teplejší než jeho ostatní okolí a bude schopen pokračovat v expanzi, i když se přívod tepla přeruší. Aby bylo zajištěno, že i tato další expanze je vratná, nesmí plyn ztrácet teplo do okolí. To znamená, že po přerušení dodávky tepla nesmí docházet k další výměně tepla s okolím, expanze musí být adiabatická.

Krok 2: Adiabatická expanze

Podle definice se při adiabatické expanzi nedodává žádné teplo, ale koná se práce.

Práce, kterou plyn koná při adiabatické expanzi, je podobná práci stlačené pružiny, která se rozpíná proti síle – rovná se práci, která je pro ideální (a dokonale izolovaný) plyn potřebná k jeho stlačení. Adiabatická expanze je tedy vratná.

Při adiabatické expanzi klesá tlak s rostoucím objemem strměji, protože na rozdíl od izotermického případu není plynu při expanzi dodávána žádná tepelná energie, takže práce, kterou může píst při postupné expanzi vykonat, je nutně menší, tlak musí být nižší.

Carnot to samozřejmě takto neviděl, ale je užitečné si plyn představit v podobě poletujících molekul a tlaku od nich odrážejícího se od pístu. Podívejte se na tento applet a uvidíte, jak zvětšení objemu bez dodání tepelné energie snižuje tlak. Při izotermické kompresi neboexpanzi by rychlost odskakující kuličky zůstala konstantní (energie se při odrazu vyměňuje stepelnými vibracemi stěn).

Vnitřní energie n molů ideálního plynu při teplotě T je n C V T. Je to (v naší moderní představě) kinetickáenergie molekul a nezávisí na objemu, který plyn zaujímá. změna vnitřní energie při adiabatické expanzi je tedy

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

je to tedy práce vykonaná plynem rozpínajícím se proti vnějšímutlaku.

Kroky 3 a 4: Dokončení cyklu

Podrobně jsme se zabývali prací, kterou plyn vykoná při rozpínánípři dodávání tepla (izotermicky) a při absenci tepelné výměny (adiabaticky). To jsou dvapočáteční kroky v tepelném motoru, ale pro další cyklus je nutné, aby se motor vrátil tam, kde začal. Obecná myšlenka spočívá v tom, že píst pohání kolo (jako na schématu na začátku této přednášky), které se dále otáčí a tlačí plyn zpět do původního objemu.

Je však také nezbytné, aby byl plyn na tomto zpátečním úseku co nejstudenější, protože kolo nyní musí na plyn vynaložit práci, a my chceme, aby to byla práce co nejmenší – škodí nám to. Čím je plyn studenější, tím menší tlak kolo vyvíjí.

Aby byl motor co nejefektivnější, musí být i tato cesta zpět do výchozího bodu ( P a , V a ) vratná. Nemůžeme prostě vrátit dráhu ujetou na prvních dvou úsecích, to by nám vzalo veškerou práci, kterou motor vykonal na těchto úsecích,a nezůstal by nám žádný čistý výkon. Nyní se plyn ochladil během adiabatické expanze z bodu b do bodu c, řekněme z T H do T C , takže se můžeme vrátit o určitou vzdálenost zpět podél vratné chladnější izotermy T C . Je zřejmé, že se tak nemůžeme dostat zpět až k ( P a , V a ), protože to je při teplejší teplotě T H . Stejně tak je ale jasné, že nejlepší je zůstat co nejdéle co nejchladnější, pokud se můžeme dostat zpět na začátek po vratné cestě (jinak ztrácíme účinnost). Ve skutečnosti existuje pouze jedna možnost: zůstaneme na studené izotermě, dokud se nesetkáme s adiabatou, která prochází původním bodem, a pak dokončíme cyklus tím, že stoupáme po této adiabatě (nezapomeňte, že adiabaty jsou strmější než izotermy).

Chceme-li si představit Carnotův cyklus v rovině (P, V), připomeňme si z předchozí přednášky graf znázorňující dvě izotermy a dva adiabaty:

Carnotův cyklus probíhá kolem tohoto zakřiveného čtyřúhelníku, jehož stranami jsou tyto čtyři křivky.

Nakresleme to znovu, o něco méně realisticky, ale pohodlněji:

Účinnost Carnotova motoru

V úplném cyklu Carnotova tepelného motoru sleduje plyndráhu abcd. Důležitá otázka zní: jaká část tepla dodaného z horkého zásobníku (po červené horní izotermě), nazvěme ji Q H , se přemění na mechanickou práci? Tento podíl samozřejmě představuje účinnost motoru.

Protože vnitřní energie plynu je na konci cyklu stejná jako na začátku – je zpět na stejných hodnotách P a V – musí platit, že vykonaná práce se rovná čistému dodanému teplu,

W= Q H – Q c ,

Q C je teplo odvedené při stlačování plynu podél studené izotermy.

Účinnost je podíl dodaného tepla, který se skutečně přemění na práci, takže

účinnost = W Q H = Q H – Q C Q H .

To je odpověď, ale není příliš užitečná:měření tepelného toku, zejména odpadního tepla, je poměrně obtížné. Ve skutečnosti se dlouho věřilo, že tepelný tok ven se rovná tepelnému toku dovnitř, a zdálo se to docela věrohodné, protože účinnost prvních motorů byla velmi nízká.

Ale existuje lepší způsob, jak to vyjádřit.

Teplo dodané po počáteční horké izotermické dráze ab se nyní rovná práci vykonané na tomto úseku, (z odstavce výše o izotermické expanzi):

Q H =nR T H ln V b V a

a teplo odvedené do chladného zásobníku podél cd je

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C vypadásložitě, ale ve skutečnosti není!

Výraz lze značně zjednodušit pomocí adiabatických rovnic pro další dvě strany cyklu:

T H V γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Dělíme-li první z těchto rovnic druhou,

( V b V a )=( V c V d )

a použijeme-li ji v předchozí rovnici pro Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

Pro Carnotův cyklus je tedy poměr dodaného a odevzdaného tepla právě poměrem absolutních teplot!

Q H Q C = T H T C , neboli Q H T H = Q C T C .

Zapamatujte si to: bude to důležité při rozvíjení pojmu entropie.

Vykonanou práci lze nyní zapsat jednoduše:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Účinnost motoru, definovaná jako podíl vstupující tepelné energie, který se přemění na dostupnou práci, je tedy

účinnost = W Q H =1- T C T H .

Tyto teploty jsou samozřejmě ve stupních Kelvina, takže například účinnost Carnotova motoru, který má horký zásobník vroucí vody a studený zásobník ledové vody, bude 1-(273/373)=0,27 ,něco přes čtvrtinu tepelné energie se přemění na užitečnou práci. Jedná se o stejný výraz, který Carnot zjistil na základě své analogie s vodním kolem.

Po veškerém úsilí zkonstruovat účinný tepelný motor, učinit jej reverzibilním, aby se eliminovaly ztráty „třením“ atd., je možná poněkud zklamáním zjistit tento údaj 27% účinnosti při provozu mezi 0 ℃ a 100 ℃. Když byly na počátku 19. století navrhovány první parní lokomotivy, zjistilo se, že poměru výkon/hmotnost potřebného k pohybu po trati lze dosáhnout pouze pomocí vysokotlakých kotlů, což znamená vaření vody při tlaku několika atmosfér (až deset atmosfér). Například při tlaku 6 atmosfér je teplota varu asi 280 ℃ nebo řekněme 550 K (kelvinů), takže provoz mezi touto a pokojovou teplotou 300 K dává teoretickou účinnost asi 250/550, tedy 45 %, což je velké zlepšení.

předchozí index další PDF