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Michael Fowler

The Ultimate in Fuel Efficiency for a Heat Engine

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Todos os motores de calor padrão (vapor, gasolina, diesel) funcionam com o fornecimento de calor a um gás, o gás então se expande em um cilindro e empurra um pistonto para fazer seu trabalho. Assim é fácil ver como transformar o calor em trabalho, mas isso é um negócio de um só tiro. Precisamos dele para continuar a repetir para ter um motor útil. Portanto, o calor e/ou o gás devem ser despejados fora do cilindro antes do início do ciclo seguinte, caso contrário todo o trabalho que o gás entregue na expansão será usado para comprimi-lo de volta!

O nosso objectivo nesta palestra é descobrir quão eficiente pode ser um motor térmico: qual é o trabalho mais eficiente que podemos obter para uma determinada quantidade de combustível num processo cíclico? Examinaremos aqui o modelo despojado ao seu essencial: um gás ideal é encerrado num cilindro, com ligações térmicas externas para fornecer e retirar calor, e um pistão sem atrito para o gás realizar (e se necessário absorver) o trabalho mecânico:

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Este motor térmico mais simples é chamado de motor Carnot, para o qual um ciclo completo de aquecimento/arrefecimento, expansão/contração de volta ao volume e temperatura originais do gás é um ciclo Carnot, com o nome de Sadi Carnot, que em 1820 derivou a fórmula correta para a máxima eficiência possível de tal motor térmico em termos de temperatura máxima e mínima do gás durante o ciclo.

O resultado de Carnot foi que se a temperatura máxima quente atingida pelo gás é T H , e a temperatura mais fria durante o ciclo é T C , (graus kelvin, ou melhor, apenas kelvin, claro) a fração de entrada de energia térmica que sai como trabalho mecânico, chamada de eficiência, é

Eficiência = T H – T C T H .

Este foi um resultado espantoso, pois foi exactamente correcto, apesar de se basear num completo mal-entendido sobre a natureza do calor!

Como entender a eficiência da roda d’água foi a chave para entender o motor térmico

Carnot acreditava que o calor, como a eletricidade, era um fluido que fluía de coisas quentes para coisas frias (e de alguma forma através do espaço como a radiação).

O que motivou Carnot a tentar calcular a eficiência energética do vapor em 1820? Bem, foi a época da Revolução Industrial, e a eficiência de sua fonte de energia determinou sua margem de lucro.

Os grandes motores eram usados principalmente na produção em massa de tecidos, em fábricas chamadas moinhos. Até o final do século XVII estes moinhos eram localizados por rios de fluxo rápido, a fonte de energia era uma grande roda d’água, ela girava uma longa haste rotativa que esticava o comprimento da fábrica. As cordas tomavam a força das roldanas desta haste para girar teares individuais, que eram operados por trabalhadores bysemiskilled, muitas vezes crianças. A figura abaixo é muito mais recente (1914), e movida a vapor, mas mostra o esquema de potência.

O motor de esteme ofereceu uma alternativa atraente: não precisava estar perto do rio. Mas precisava de carvão ou madeira para combustível, ao contrário da moagem de água.

Desde que a principal fonte de energia industrial até ao final do século XVII era a roda d’água, pensou-se muito em torná-la tão eficiente quanto possível, e como Carnot pensava que o calor era um fluido, ele usou o pensamento da roda d’água na análise do motor a vapor. Então, como tornar uma roda d’água o mais eficiente possível?

A água perde energia potencial à medida que é levada pela roda, por isso a maior energia possível é mgh watts, onde m é a massa de água que flui por segundo. (Estamos ignorando possíveis contribuições cinéticas de energia da água que entra rapidamente – este é um efeito muito pequeno, e não se aplica à análise do motor térmico de Carnot.)

Como a energia é desperdiçada? Obviamente, precisamos da menor fricção possível na roda. Deve haver um fluxo suave: sem salpicos de água por aí.

A água deve fluir para dentro e para fora da roda sem deixar cair nenhuma altura significativa, ou perde essa quantidade de energia potencial sem produzir trabalho.

Uma roda de água perfeita seria reversível: poderia ser usada para conduzir uma cópia de si mesma para trás, para levantar a mesma quantidade de água por segundo que caiu.

Além : Uma roda de água moderna em Virgínia

Existe na Virgínia uma roda de água bastante eficiente: é cerca de 80% eficiente – a estação de armazenamento hidroeléctrica BathCounty. Esta é uma roda d’água, na verdade uma turbina, mas isso equivale à mesma coisa melhor desenhada, que funciona nos dois sentidos. A água de um lago superior cai através de um cano para uma turbina e do lago inferior, gerando energia elétrica. Alternativamente, a energia elétrica pode ser fornecida para bombear a água de volta. Por que se preocupar? Porque a demanda de eletricidade varia, e é melhor evitar se possível construir centrais elétricas que só funcionam durante os picos de demanda. É um esquema para armazenar energia em momentos de baixa demanda.

A queda é por volta dos 1200 pés, 380 metros. A vazão é de cerca de mil toneladas por segundo. A central gera cerca de 3 Gigawatts, substancialmente mais do que uma central nuclear de duas unidades, como a North Anna.

Carnot’s Idea: a “Water Wheel” forHeat

Carnot acreditava que o calor era um fluido (ainda o imaginamos fluindo dessa forma ao pensar na condução de calor, ou, digamos, no cozimento) levou-o a analisar o motor a vapor em paralelo a uma roda d’água. Na roda da água, a água cai através de uma diferença de potencial agravante e essa energia potencial é transformada em trabalho pela roda. O “fluido eléctrico” que agora vemos como um fluido que perde potencial energético eléctrico e produz trabalho ou calor. Então, e o calor “fluido calórico” (como era chamado)? Obviamente, a analogia com o potencial gravitacional é apenas a temperatura! À medida que o gás no cilindro se expande, ele funciona, mas a sua temperatura desce.

Carnot assumiu que o motor a vapor não passava de uma roda de água para este fluido calórico, pelo que o motor mais eficiente teria uma fricção mínima, mas também, em analogia com a água que entrava e saia suavemente da roda sem perda intermédia de altura, o calor entraria e deixaria o gás no motor isotermicamente (lembre-se que a temperatura é análoga ao potencial gravítico, logo a altura). Portanto, por analogia com gh, a queda na temperatura T H – T C mede a energia potencial cedida por uma unidade de quantidade do “fluido térmico”.

O motor a vapor mais eficiente teria uma troca isotérmica de heatexicidade (diferenças insignificantes de temperatura na troca de calor), como a roda de água mais eficiente (apenas uma pequena gota à medida que a água entra e sai da roda). Naturalmente, este é o limite teórico: alguma gota é necessária para a operação. Mas o importante é que no limite da eficiência perfeita, tanto o motor quanto a roda d’água são reversíveis – se fornecidos com trabalho, eles poderiam transformá-lo na mesma quantidade de calor que precisariam para gerar esse trabalho em primeiro lugar.

Mas como isso se relaciona com a energia gasta produzindo o calor em primeiro lugar? Pois bem, Carnotew sabe outra coisa: havia um zero absoluto de temperatura. Portanto, ele raciocinou, se você resfriasse o fluido até o zero absoluto, ele abriria mão de toda a sua energia térmica. Então, a quantidade máxima possível de energia que se pode extrair ao resfriá-lo de T H a T C é, que fração é aquela de resfriá-lo a zero absoluto?

É apenas T H – T C T H !

Obviamente, a imagem do fluido calórico não é correcta, mas este resultado é! Esta é a máxima eficiência do motor de abertura: e lembre-se, este motor é reversível. Veremos como usar esse facto importante mais tarde.

Trabalhando com um gás quente de forma eficiente: Fluxos Isotérmicos e Adiabáticos

Agora vamos aos detalhes de obter o máximo de trabalho fora de um gás aquecido. Queremos que o processo seja o mais próximo possível da reversível: existem duas maneiras de mover o pistão reversivelmente: isotermicamente, ou seja, o calor flui gradualmente para dentro ou para fora, do reservatório a uma temperatura infinitamente diferente da do gás no pistão, e adiabaticamente, no qual não há troca de calor, o gás age apenas como uma mola.

Assim, à medida que o calor é fornecido e o gás se expande, a temperatura do gás deve permanecer a mesma que a do fornecimento de calor (o “reservatório de calor”): o gás está se expandindo isotermicamente. Da mesma forma, ele deve se contrair isotermicamente mais tarde no ciclo, à medida que se desgasta.

Para descobrir a eficiência, precisamos rastrear o motor através de um ciclo completo, descobrir quanto trabalho ele faz, quanto calor é retirado do combustível, e quanto calor é despejado ao se preparar para o ciclo seguinte. Você pode querer olhar para o applet para obter a imagem neste ponto: o ciclo tem quatro etapas, uma expansão isotérmica quando o calor é absorvido, seguido por uma expansão adiabática, depois uma isotermiacontração quando o calor é derramado, finalmente uma contração adiabática para a configuração original. Vamos dar um passo à vez.

Passo 1: Expansão isotérmica

Então a primeira questão é: Quanto calor é fornecido, e quanto trabalho é feito, já que o gás se expande isotermicamente? Tomando a temperatura do reservatório de calor a ser T H ( H para quente), o gás em expansão segue o caminho isotérmico PV=nR T H no plano ( P,V ).

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O trabalho feito pelo gás numa pequena expansão de volume ΔV é apenas PΔV, a área sob a curva (como provamos na última palestra).

Hence the work done in expanding isothermally from volume V a to V b is the total area under the curve betweenthos values,

work done isothermally= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Não há alteração na sua energia interna durante esta expansão, portanto o calor total fornecido deve ser nR T H ln V b V a , o mesmo que o trabalho externo que o gás fez.

Na verdade, esta expansão isotérmica é apenas o primeiro passo: o gás está à temperatura do reservatório de calor, mais quente do que os seus outros entornos, e será capaz de continuar a expansão, mesmo que o fornecimento de calor seja cortado. Para garantir que esta expansão também seja reversível, o gás não deve estar perdendo calor para o entorno. Ou seja, após o corte do fornecimento de calor, não deve haver mais troca de calor com os arredores, a expansão deve ser adiabática.

Passo 2: Expansão adiabática

Por definição, nenhum heatis fornecido na expansão adiabática, mas o trabalho é feito.

O trabalho que o gás faz na expansão adiabática é como aquele de uma mola comprimida se expandindo contra uma força – igual ao trabalho necessário para comprimi-lo em primeiro lugar, para um gás ideal (e perfeitamente isolado). Portanto, a expansão adiabática é reversível.

Na expansão adiabática, a pressão cai mais acentuadamente à medida que o volume aumenta, porque, ao contrário do caso isotérmico, não está a ser fornecida energia térmica ao gás à medida que este se expande, por isso o trabalho do pistão cando numa expansão incremental é necessariamente menor, a pressão deve diminuir.

O claro, Carnot não viu desta forma, mas é útil pensar no gás em termos de moléculas voando ao redor, e a pressão delas saltando do pistão. Veja aqui o applet para ver como expandir o volume sem fornecer energia térmica diminui a pressão. Para a compressão isotérmica, a velocidade da esfera que salta permaneceria constante (energia trocada com vibrações térmicas nas paredes enquanto ela saltava).

A energia interna de n moles de um gás ideal à temperatura T é n C V T. Portanto, a mudança de energia interna na expansão adiabática é

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

então este é o trabalho feito pelo gás se expandindo contra a pressão externa.

Passos 3 e 4: Completando o ciclo

Vemos em detalhe o trabalho que um gás faz na expansão como calor é fornecido (isotermicamente) e quando não há troca de calor (adiabaticamente). Estas são as duas etapas iniciais de um motor térmico, mas é necessário que o motor volte ao ponto de partida, para o ciclo seguinte. A idéia geral é que o pistão aciona uma roda (como no diagrama do início desta palestra), que continua girando e empurra o gás de volta para o volume original.

Mas também é essencial que o gás seja tão asfixiável a frio nesta perna de retorno, pois a roda agora tem que gastar trabalho no gás, e queremos que isso seja o mínimo de trabalho possível – nos custando. Quanto mais frio o gás, menos pressão a roda está empurrando contra.

Para garantir que o motor seja o mais eficiente possível, este caminho de retorno ao ponto de partida ( P a , V a ) também deve ser reversível. Não podemos simplesmente refazer o caminho percorrido nas duas primeiras pernas, que levaria todo o trabalho que o motor fez ao longo dessas pernas, e nos deixaria sem saída de rede. Agora os gases esfriaram durante a expansão adiabática de b para c, de T H para T C , digamos, para que possamos voltar alguma distância ao longo da isoterma mais fria possível T C . Obviamente, isso não pode nos levar de volta ( P a , V a ), porque isso é na temperatura mais quente T H . É igualmente claro, no entanto, que o nosso melhor é ficar o mais frio possível durante o máximo de tempo possível, desde que possamos voltar ao início num caminho reversível (caso contrário estamos a perder eficiência). Só há realmente uma opção: ficamos no isoterma frio até encontrarmos o adiabato que passa pelo ponto de origem, depois completamos o ciclo subindo esse adiabato (lembre-se que osadiabats são mais íngremes que os isotermas).

Para imaginar o ciclo de Carnot no plano (P, V), lembre-se da palestra anterior o gráfico mostrando dois isotermas e dois adiabats:

O ciclo de Carnot é em torno daquele quadrilátero curvo tendo estas quatro curvas como seus lados.

Deixe-nos redesenhar isto, um pouco menos realista mas moreconvenientemente:

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Eficiência do Motor Carnot

Num ciclo completo do motor térmico de Carnot, o traçado a gás abcd. A questão importante é: que fração do calor fornecido pelo reservatório quente (ao longo da isoterma vermelha), vamos chamá-lo de Q H , é transformada em trabalho mecânico? Esta fracção é, naturalmente, a eficiência do motor.

Desde que a energia interna do gás é a mesma no final do ciclo que era no início – deve ser igual ao calor líquido fornecido,

W= Q H – Q c ,

Q C , sendo o calor despejado à medida que o gás é comprimido ao longo da isotermia fria.

A eficiência é a fração da entrada de calor que é realmente convertida em trabalho, portanto

eficiência = W Q H = Q H – Q C Q H .

Esta é a resposta, mas não é particularmente útil:medir o fluxo de calor, especialmente o calor desperdiçado, é bastante difícil. Na verdade, durante muito tempo acreditou-se que o fluxo de calor era igual ao fluxo de entrada, e isto pareceu bastante plausível porque a eficiência dos primeiros motores era muito baixa.

Mas há uma maneira melhor de expressar isto.

Agora o calor fornecido ao longo do caminho isotérmico inicial quente ab é igual ao trabalho feito ao longo dessa perna,(do parágrafo acima sobre expansão isotérmica):

Q H =nR T H ln V b V a

e o calor despejado no reservatório frio ao longo de cd é

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C parece complicado, mas na verdade não é!

A expressão pode ser muito simplificada usando as adiabaticequações para os outros dois lados do ciclo:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Dividindo a primeira destas equações pela segunda,

( V b V a )=( V c V d )

e usando a equação anterior para Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T T H Q H .

Então, para o Carnotciclo a razão entre o calor fornecido e o calor despejado é apenas a razão entre as temperaturas absolutas!

Q H Q C = T H T C , ou Q H T H = Q C T C .

Lembrar isto: será importante no desenvolvimento do conceito de entropia.

O trabalho feito agora pode ser escrito simplesmente:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Por isso a eficiência do motor, definida como a fração da energia térmica que é convertida em trabalho disponível, é

eficiência = W Q H =1- T C T H .

Estas temperaturas são, naturalmente, em graus Kelvin, portanto, a eficiência de um motor Carnot com um reservatório quente de água fervente e um reservatório frio de água gelada será 1-(273/373)=0,27, pouco mais de um quarto da energia térmica é transformada em trabalho útil. Esta é a mesma expressão que Carnot encontrou em sua analogia com a roda d’água.

Depois de todo o esforço para construir um motor de calor eficiente, tornando reversível para eliminar perdas por “fricção”, etc., é sempre decepcionante encontrar este valor de 27% de eficiência ao operar entre 0℃ e 100℃. De facto, quando no início do século XIX foram concebidas as primeiras locomotivas a vapor, verificou-se que a relação potência/peso necessária para se deslocar ao longo de uma via só podia ser alcançada através de caldeiras de alta pressão, ou seja, água a ferver a poucas esferas (até dez) de pressão. A 6 atmosferas a pressão, por exemplo, a temperatura de ebulição é de cerca de 280℃, ou seja, 550K (kelvin), pelo que a operação entre isso e a temperatura ambiente a 300K dá uma eficiência teórica de cerca de 250/550, ou 45%, uma grande melhoria.

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