I første omgang tror du måske, at uendelighed divideret med uendelighed er lig med et. Når alt kommer til alt, er ethvert tal divideret med sig selv lig med en, men uendelighed er ikke et reelt eller rationelt tal. Jeg vil bevise, hvad uendelighed divideret med uendelighed virkelig er lig med, og du vil måske ikke bryde dig om svaret.
Først vil jeg definere dette aksiom (antagelse) om, at uendelighed divideret med uendelighed er lig med et:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Da ∞ = ∞ + ∞, skal vi erstatte den første uendelighed i vores aksiom:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Det næste skridt er at dele denne brøk op i to brøker:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ ∞ |
= 1 |
|---|
Næst substituerer vi aksiomet to gange i ligningen og får:
Næste gang vi substituerer aksiomet to gange i ligningen, får vi:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Sluttelig kan dette omskrives som:
| 2 | = 1 |
|---|
Denne ligning er tydeligvis forkert. Derfor er uendelighed divideret med uendelighed IKKE lig med et. I stedet kan vi få ethvert reelt tal til at være lig med et, når vi antager, at uendelighed divideret med uendelighed er lig med et, så uendelighed divideret med uendelighed er udefineret.
Hvis du stadig ikke tror mig, så lad os prøve at bevise dette på en anden måde. Lad os starte med vores aksiom igen.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Næst deler vi denne brøk i to dele.
| ∞E↩ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Løs brøken af 1 divideret med ∞. Umiddelbart ville man tro, at 1 divideret med ∞ er lig med 0, men det er ikke korrekt, for det ville betyde, at 0 gange ∞ ville være lig med 1. Og det er bevist, at det ikke er rigtigt her. Men 1 divideret med ∞ er lig med en grænse, der nærmer sig 0. Med andre ord er 1 divideret med ∞ ikke lig med et tal eller er udefineret.
| ∞E↩ * | udefineret | = 1 |
|---|
Som følge heraf er vi nået til en blindgyde. Derfor er uendelighed divideret med uendelighed stadig udefineret.
af Phil for Humanity
den 01/07/2007