Eksempel 1: Undersøg nedenstående sætninger.
| Alle trekanter har tre sider. | |
| Albany er hovedstaden i staten New York. | |
| Ingen primtal er lige. |
Hver af disse sætninger er en lukket sætning.
Definition: En lukket sætning er et objektivt udsagn, som enten er sandt eller falsk.
Sådan har hver lukket sætning i eksempel 1 en sandhedsværdi på enten sandt eller falsk som vist nedenfor.
| Alle trekanter har tre sider. | sandt | ||
| Albany er hovedstaden i staten New York. | sandt | ||
| Ingen primtal er lige. | falsk |
Bemærk, at den tredje sætning er falsk, da 2 er et primtal. Det er muligt, at en lukket sætning vil have forskellige sandhedsværdier på forskellige tidspunkter. Dette er demonstreret i eksempel 2 nedenfor.
Eksempel 2:
| I dag er det tirsdag. | |
| Bill Clinton var den 42. præsident for USA. |
Eksempel 3: Undersøg sætningerne nedenfor.
| x + 3 = 7 | |
| Hun bestod matematik. | |
| y – 4 = 11 | |
| Han er min bror. |
Sætningerne i eksempel 3 er åbne sætninger.
Definition: En åben sætning er et udsagn, der indeholder en variabel og bliver enten sandt eller falsk afhængigt af den værdi, der erstatter variablen.
Lad os tage et nyt kig på eksempel 3. Denne gang skal vi identificere variablen for hver åben sætning.
| x + 3 = 7 | Variablen er x. | |
| Hun bestod matematik. | Variablen er hun. | |
| y – 4 = 11 | Variablen er y. | |
| Han er min bror. | Variablen er han. |
Nu da vi har identificeret variablerne, kan vi analysere betydningen af disse åbne sætninger. Sætning 1 er sand, hvis x erstattes med 4, men falsk, hvis x erstattes med et andet tal end 4. Sætning 3 er sand, hvis y erstattes med 15, men ellers falsk. Sætning 2 er enten sand eller falsk afhængig af værdien af variablen “hun”. På samme måde er sætning 4 enten sand eller falsk afhængig af værdien af variablen “han”. Kort sagt afhænger sandhedsværdien af hver enkelt åben sætning af, hvilken værdi der anvendes til at erstatte variablen i den pågældende sætning.
Eksempel 4:
| Givet: | Lad p repræsentere, “Baseball er en sport.” |
| Lad q repræsentere: “Der er 100 cents i en dollar.” | |
| Lad r repræsentere: “Hun laver sine lektier.” | |
| Lad s repræsentere: “En dime er ikke en mønt.” | |
| Problem: | Skriv hver sætning nedenfor ved hjælp af symboler og angiv, om den er sand, falsk eller åben. |
Eksempel 5:
| Givet: | Lad p repræsentere den lukkede sætning: “Tallet 9 er ulige.” |
| Problem: | Hvad betyder ~p? |
I eksempel 5 bliver vi bedt om at finde negationen af p.
Definition: Definition: Negationen af udsagn p er “ikke p”. Negationen af p er symboliseret ved “~p”. Sandhedsværdien af ~p er det modsatte af sandhedsværdien af p.
Løsning: Da p er sandt, må ~p være falsk.
| p: | Tallet 9 er ulige. | sandt | |
| ~p: | Tallet 9 er ikke ulige. | falsk |
Lad os se på nogle flere eksempler på negation.
Eksempel 6:
| r: | 7 < 5 | falsk |
| ~r: | 7  5 |
sandt |
Eksempel 7:
| a: | Produktet af to negative tal er et positivt tal. | sandt |
| ~a: | Produktet af to negative tal er ikke et positivt tal. | falsk |
Vi kan konstruere en sandhedstabel for at bestemme alle mulige sandhedsværdier for et udsagn og dets negation.
Definition: En sandhedstabel hjælper os med at finde alle mulige sandhedsværdier for et udsagn. Hvert udsagn er enten sandt (T) eller falsk (F), men ikke begge dele.
Sammenhæng: For at hjælpe os med at huske denne definition kan vi tænke på en computer, som enten er tændt eller slukket, men ikke begge dele.
Eksempel 8: Konstruér en sandhedstabel for negationen af x.
Løsning:
| x | ~x |
| T | F |
| F | T |
I eksempel 8 gælder, at når x er sandt, er ~x falsk, og når x er falsk, er ~x sandt. Af denne sandhedstabel kan vi se, at et udsagn og dets negation har modsatte sandhedsværdier.
Eksempel 9: Konstruér en sandhedstabel for negationen af p.
Løsning:
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
Vi kan også negere en negation. For eksempel er negationen af ~p ~(~p) eller p. Dette er illustreret i nedenstående eksempel.
Eksempel 10: Konstruér en sandhedstabel for negationen af p og for negationen af ikke p.
Løsning:
| p | ~p | ~(~p) | |
| T | F | T | |
| F | T |
F |
Summarum: Et udsagn er en sætning, der enten er sand eller falsk. En lukket sætning er et objektivt udsagn, som enten er sandt eller falsk. En åben sætning er et udsagn, der indeholder en variabel og bliver enten sand eller falsk afhængigt af den værdi, der erstatter variablen. Negationen af udsagn p er “ikke p”, symboliseret ved “~p”. Et udsagn og dets negation har modsatte sandhedsværdier.
Opgaver
Retningslinjer: Læs hvert enkelt spørgsmål nedenfor. Vælg dit svar ved at klikke på den tilhørende knap. Du får feedback på dit svar i RESULTATKASSEN. Hvis du begår en fejl, skal du vælge en anden knap.
| Hvilken af følgende sætninger er en lukket sætning? | ||
| Hvad er negationen af: “Jenny kører i bus”? | |
| Hvilken af følgende er negationen af x? | |
|
||||||
| Hvilken af følgende sætninger er en åben sætning? | ||