Ejemplo 1: Examina las siguientes frases.
| Todo triángulo tiene tres lados. | |
| Ningún número primo es par. |
Cada una de estas oraciones es una oración cerrada.
Definición: Una oración cerrada es un enunciado objetivo que es verdadero o falso.
Así, cada oración cerrada del ejemplo 1 tiene un valor de verdad de verdadero o falso como se muestra a continuación.
| Todo triángulo tiene tres lados. | Verdadero | |
| Verdadero | ||
| Ningún número primo es par. | Falso |
Nótese que la tercera frase es falsa ya que 2 es un número primo. Es posible que una sentencia cerrada tenga diferentes valores de verdad en diferentes momentos. Esto se demuestra en el ejemplo 2 siguiente.
Ejemplo 2:
| Hoy es martes. | |
| Bill Clinton fue el 42º presidente de los Estados Unidos. |
Ejemplo 3: Examine las oraciones siguientes.
| x + 3 = 7 | |
| Aprobó matemáticas. | |
| y – 4 = 11 | |
Las oraciones del ejemplo 3 son oraciones abiertas.
Definición: Una sentencia abierta es un enunciado que contiene una variable y se convierte en verdadero o falso dependiendo del valor que sustituya a la variable.
Vamos a echar otro vistazo al Ejemplo 3. Esta vez identificaremos la variable para cada frase abierta.
| x + 3 = 7 | La variable es x. | |
| Ella aprobó matemáticas. | La variable es ella. | |
| Y – 4 = 11 | La variable es y. | |
| Es mi hermano. | La variable es él. |
Ahora que hemos identificado las variables, podemos analizar el significado de estas oraciones abiertas. La oración 1 es verdadera si se sustituye x por 4, pero es falsa si se sustituye x por un número distinto de 4. La oración 3 es verdadera si se sustituye y por 15, pero es falsa en caso contrario. La frase 2 es verdadera o falsa según el valor de la variable «ella». Del mismo modo, la frase 4 es verdadera o falsa dependiendo del valor de la variable «él». En resumen, el valor de verdad de cada oración abierta depende de qué valor se utilice para sustituir la variable en esa oración.
Ejemplo 4:
| Dado: | Dejemos que p represente, «El béisbol es un deporte.» |
| Deja que q represente, «Hay 100 centavos en un dólar.» | |
| Deja que r represente, «Ella hace su tarea.» | |
| Deja que s represente, «Una moneda de diez centavos no es una moneda.» | |
| Problema: | Escriba cada una de las oraciones siguientes utilizando símbolos e indique si es verdadera, falsa o abierta. |
Ejemplo 5:
| Dado: | Deje que p represente la oración cerrada «El número 9 es impar.» |
| Problema: | ¿Qué significa ~p? |
En el ejemplo 5 se nos pide que encontremos la negación de p.
Definición: La negación del enunciado p es «no p». La negación de p se simboliza con «~p». El valor de verdad de ~p es el opuesto al valor de verdad de p.
Solución: Como p es verdadero, ~p debe ser falso.
| p: | El número 9 es impar. | Verdadero |
| ~p: | El número 9 no es impar. | Falso |
Veamos más ejemplos de negación.
Ejemplo 6:
| r: | 7 < 5 | falso |
| ~r: | 7  5 |
verdadero |
Ejemplo 7:
| a: | El producto de dos números negativos es un número positivo. | Verdad |
| ~a: | El producto de dos números negativos no es un número positivo. | Falso |
Podemos construir una tabla de verdad para determinar todos los posibles valores de verdad de una afirmación y su negación.
Definición: Una tabla de verdad nos ayuda a encontrar todos los posibles valores de verdad de una afirmación. Cada afirmación es verdadera (T) o falsa (F), pero no ambas.
Conexión: Para ayudarnos a recordar esta definición, piensa en un ordenador, que está encendido o apagado, pero no ambos.
Ejemplo 8: Construye una tabla de verdad para la negación de x.
Solución:
| x | ~x |
| T | F |
| F | T |
En el ejemplo 8, cuando x es verdadero, ~x es falso; y cuando x es falso, ~x es verdadero. A partir de esta tabla de verdad, podemos ver que una afirmación y su negación tienen valores de verdad opuestos.
Ejemplo 9: Construir una tabla de verdad para la negación de p.
Solución:
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
También podemos negar una negación. Por ejemplo, la negación de ~p es ~(~p) o p. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10: Construye una tabla de verdad para la negación de p, y para la negación de no p.
Solución:
| p | ~p | ~(~p) |
| T | F | T |
| F | T |
F |
Resumen: Un enunciado es una oración que es verdadera o falsa. Una oración cerrada es un enunciado objetivo que es verdadero o falso. Una sentencia abierta es un enunciado que contiene una variable y se convierte en verdadero o falso dependiendo del valor que sustituya a la variable. La negación del enunciado p es «no p», simbolizada por «~p». Un enunciado y su negación tienen valores de verdad opuestos.
Ejercicios
Direcciones: Lee cada una de las preguntas que aparecen a continuación. Seleccione su respuesta haciendo clic en su botón. Los comentarios a su respuesta se proporcionan en el cuadro de resultados. Si te equivocas, elige otro botón.
| ¿Cuál de las siguientes es una oración cerrada? | |
| ¿Cuál es la negación de, «Jenny monta en el autobús»? | |
| ¿Cuál de las siguientes es la negación de x? | |
|
||||||
| ¿Cuál de las siguientes es una oración abierta? | |
.