Exemple 1 : Examinez les phrases ci-dessous.
| Tout triangle a trois côtés. | |
| Albany est la capitale de l’Etat de New York. | |
| Aucun nombre premier n’est pair. |
Chacune de ces phrases est une phrase fermée.
Définition : Une phrase fermée est une déclaration objective qui est soit vraie, soit fausse.
Donc, chaque phrase fermée de l’exemple 1 a une valeur de vérité soit vraie, soit fausse, comme indiqué ci-dessous.
| Tout triangle a trois côtés. | vrai | |
| Albany est la capitale de l’État de New York. | vrai | |
| Aucun nombre premier n’est pair. | faux |
Notez que la troisième phrase est fausse puisque 2 est un nombre premier. Il est possible qu’une phrase fermée ait des valeurs de vérité différentes à différents moments. Ceci est démontré dans l’exemple 2 ci-dessous.
Exemple 2 :
| On est aujourd’hui mardi. | |
| Bill Clinton était le 42e président des États-Unis. |
Exemple 3 : Examinez les phrases ci-dessous.
| x + 3 = 7 | |
| Elle a réussi en mathématiques. | |
| y – 4 = 11 | |
| Il est mon frère. |
Les phrases de l’exemple 3 sont des phrases ouvertes.
Définition : Une phrase ouverte est une déclaration qui contient une variable et qui devient soit vraie soit fausse en fonction de la valeur qui remplace la variable.
Regardons à nouveau l’exemple 3. Cette fois, nous identifierons la variable pour chaque phrase ouverte.
| x + 3 = 7 | La variable est x. | |
| Elle a réussi les maths. | La variable est elle. | |
| y – 4 = 11 | La variable est y. | |
| Il est mon frère. | La variable est il. |
Maintenant que nous avons identifié les variables, nous pouvons analyser le sens de ces phrases ouvertes. La phrase 1 est vraie si x est remplacé par 4, mais fausse si x est remplacé par un autre nombre que 4. La phrase 3 est vraie si y est remplacé par 15, mais fausse sinon. La phrase 2 est soit vraie, soit fausse, selon la valeur de la variable « elle ». De même, la phrase 4 est soit vraie soit fausse en fonction de la valeur de la variable « he ». En résumé, la valeur de vérité de chaque phrase ouverte dépend de la valeur utilisée pour remplacer la variable dans cette phrase.
Exemple 4:
| Donné: | Laissez p représenter, « Le baseball est un sport. » |
| Let q représente, « Il y a 100 cents dans un dollar. » | |
| Let r représente, « Elle fait ses devoirs. » | |
| Let s représente, « Une pièce de dix cents n’est pas une pièce de monnaie. » | |
| Problème: | Écrivez chaque phrase ci-dessous en utilisant des symboles et indiquez si elle est vraie, fausse ou ouverte. |
Exemple 5:
| Donné: | Laissez p représenter la phrase fermée « Le nombre 9 est impair. » |
| Problème: | Que signifie ~p ? |
Dans l’exemple 5, on nous demande de trouver la négation de p.
Définition : La négation de l’énoncé p est « pas p ». La négation de p est symbolisée par « ~p ». La valeur de vérité de ~p est l’opposé de la valeur de vérité de p.
Solution : Puisque p est vrai, ~p doit être faux.
| p: | Le nombre 9 est impair. | vrai |
| ~p: | Le nombre 9 n’est pas impair. | faux |
Regardons d’autres exemples de négation.
Exemple 6:
| r: | 7 < 5 | faux |
| ~r : | 7  5 |
vrai |
Exemple 7:
| a: | Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif. | vrai |
| ~a: | Le produit de deux nombres négatifs n’est pas un nombre positif. | faux |
Nous pouvons construire une table de vérité pour déterminer toutes les valeurs de vérité possibles d’un énoncé et de sa négation.
Définition : Une table de vérité nous aide à trouver toutes les valeurs de vérité possibles d’une déclaration. Chaque énoncé est soit Vrai (V), soit Faux (F), mais pas les deux.
Connexion : Pour nous aider à nous souvenir de cette définition, pensez à un ordinateur, qui est soit allumé soit éteint, mais pas les deux.
Exemple 8 : Construisez une table de vérité pour la négation de x.
Solution :
| x | ~x |
| T | F |
| F | T |
Dans l’exemple 8, lorsque x est vrai, ~x est faux ; et lorsque x est faux, ~x est vrai. A partir de cette table de vérité, on peut voir qu’une affirmation et sa négation ont des valeurs de vérité opposées.
Exemple 9 : Construisez une table de vérité pour la négation de p.
Solution:
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
Nous pouvons aussi nier une négation. Par exemple, la négation de ~p est ~(~p) ou p. Ceci est illustré dans l’exemple ci-dessous.
Exemple 10 : Construisez une table de vérité pour la négation de p, et pour la négation de pas p.
Solution :
| p | ~p | ~(~p) |
| T | F | T |
| F | T |
F |
Résumé : Une affirmation est une phrase qui est soit vraie, soit fausse. Une phrase fermée est une affirmation objective qui est soit vraie, soit fausse. Une phrase ouverte est une affirmation qui contient une variable et qui devient vraie ou fausse en fonction de la valeur qui remplace la variable. La négation de l’énoncé p est « pas p », symbolisée par « ~p ». Un énoncé et sa négation ont des valeurs de vérité opposées.
Exercices
Directions : Lisez chaque question ci-dessous. Sélectionnez votre réponse en cliquant sur son bouton. Les réactions à votre réponse sont fournies dans la BOÎTE DES RÉSULTATS. Si vous faites une erreur, choisissez un autre bouton.
| Qu’est-ce qui est une phrase fermée parmi les suivantes ? | |
| Quelle est la négation de « Jenny prend le bus » ? | |
| Quel est la négation de x ? | |
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| Quoi des phrases suivantes est une phrase ouverte ? | |
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