Példa 1: Vizsgáljuk meg az alábbi mondatokat.
| Minden háromszögnek három oldala van. | |
| Albany New York állam fővárosa. | |
| Nincs páros prímszám. |
A mondatok mindegyike zárt mondat.
Definíció:
Az 1. példa minden egyes zárt mondatának igazságértéke tehát vagy igaz, vagy hamis, ahogy az alábbiakban látható.
| Minden háromszögnek három oldala van. | igaz | |
| Albany New York állam fővárosa. | igaz | |
| Nincs páros prímszám. | hamis |
Megjegyezzük, hogy a harmadik mondat hamis, mivel a 2 prímszám. Lehetséges, hogy egy zárt mondatnak különböző időpontokban különböző igazságértékei vannak. Ezt az alábbi 2. példa mutatja be.
2. példa:
| Ma kedd van. | |
| Bill Clinton volt az Egyesült Államok 42. elnöke. |
Példa 3: Vizsgáljuk meg az alábbi mondatokat.
| x + 3 = 7 | |
| Matematikából átment. | |
| y – 4 = 11 | |
| Ő a testvérem. |
A 3. példa mondatai nyitott mondatok.
Definíció:
Nézzük meg még egyszer a 3. példát. Ezúttal minden egyes nyitott mondatban azonosítjuk a változót.
| x + 3 = 7 | A változó az x. | ||
| She passed math. | A változó a she. | ||
| y – 4 = 11 | A változó y. | ||
| Ő a bátyám. | A változó ő. |
Most, hogy azonosítottuk a változókat, elemezhetjük a nyitott mondatok jelentését. Az 1. mondat igaz, ha x helyébe 4 lép, de hamis, ha x helyébe nem 4-es szám lép. A 3. mondat igaz, ha y helyébe 15 lép, de egyébként hamis. A 2. mondat az “ő” változó értékétől függően igaz vagy hamis. Hasonlóképpen a 4. mondat a “he” változó értékétől függően igaz vagy hamis. Összefoglalva, minden egyes nyitott mondat igazságértéke attól függ, hogy milyen értékkel helyettesítjük a változót az adott mondatban.
4. példa:
| Adott: | Legyen p azt képviseli: “A baseball egy sport.” |
| Az q képviselje: “Egy dollárban 100 cent van.” | |
| Az r képviselje: “Megcsinálja a házi feladatát.” | |
| Az s képviselje: “A tízcentes nem egy érme.” | |
| Probléma: | Írd le az alábbi mondatokat szimbólumok segítségével, és jelöld, hogy igaz, hamis vagy nyitott. |
Példa 5:
| Adott: | Legyen p a zárt mondat: “A 9-es szám páratlan.” |
| Probléma: | Mit jelent ~p? |
Az 5. példában a p tagadását kell megtalálnunk.
Definíció: A p állítás negációja a “nem p”. A p tagadását a “~p” szimbolizálja. A ~p igazságértéke a p igazságértékének az ellentéte.
Megoldás:
| p: | A 9-es szám páratlan. | igaz |
| ~p: | A 9-es szám nem páratlan. | hamis |
Nézzünk még néhány példát a tagadásra.
6. példa:
| r: | 7 < 5 | hamis |
| ~r: | 7  5 |
igaz |
Példa 7:
| a: | A két negatív szám szorzata pozitív szám. | igaz |
| ~a: | Két negatív szám szorzata nem pozitív szám. | hamis |
Egy állítás és annak negációja összes lehetséges igazságértékének meghatározására igazságtáblázatot készíthetünk.
Definíció: Egy igazságtáblázat segítségével megtalálhatjuk egy állítás összes lehetséges igazságértékét. Minden állítás vagy igaz (T) vagy hamis (F), de nem mindkettő.
Kapcsolat:
Példa 8: Konstruáljunk igazságtáblázatot az x tagadására.
Megoldás:
| x | ~x |
| T | F |
| F | T |
A 8. példában, ha x igaz, ~x hamis; és ha x hamis, ~x igaz. Ebből az igazságtáblából láthatjuk, hogy egy állításnak és a negációjának ellentétes igazságértéke van.
9. példa: Készítsünk igazságtáblát p negációjára.
Megoldás:
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
A negációt is negálhatjuk. Például ~p negációja ~(~p) vagy p. Ezt szemlélteti az alábbi példa.
10. példa: Készítsünk igazságtáblát a p negációjára és a nem p negációjára.
Megoldás:
| p | ~p | ~(~p) |
| T | F | T |
| F | T |
F |
Summary: Az állítás egy olyan mondat, amely vagy igaz vagy hamis. A zárt mondat olyan objektív állítás, amely vagy igaz, vagy hamis. A nyitott mondat olyan kijelentés, amely tartalmaz egy változót, és a változót helyettesítő értéktől függően igaz vagy hamis lesz. A p állítás tagadása a “nem p”, amelyet a “~p” jelképez. Az állításnak és tagadásának ellentétes igazságértéke van.
GYakorlatok
Rendezés: Olvassátok el az alábbi kérdéseket. Válassza ki a választ a hozzá tartozó gombra kattintva. A válaszodra adott visszajelzést az Eredmények mezőben találod. Ha hibázol, válassz egy másik gombot.
| Az alábbiak közül melyik zárt mondat? | |
| Mi a tagadása annak: “Jenny buszra száll”? | |
| Az alábbiak közül melyik az x tagadása? | |
|
||||||
| Az alábbiak közül melyik nyitott mondat? | ||