A háromszögmátrixhoz hasonló mátrixot háromszögelhetőnek nevezzük. Absztrakt módon ez egyenértékű egy zászló stabilizálásával: a felső háromszögmátrixok pontosan azok, amelyek megőrzik a standard zászlót, amelyet a standard rendezett bázis ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} ad.
és a kapott zászló 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Minden zászló konjugált (mivel az általános lineáris csoport tranzitívan hat a bázisokra), így bármely mátrix, amely egy zászlót stabilizál, hasonló ahhoz, amely a standard zászlót stabilizálja.
Minden komplex négyzetes mátrix háromszögelhető. Valójában egy A mátrix egy olyan mező felett, amely tartalmazza A összes sajátértékét (például bármely mátrix egy algebrailag zárt mező felett), hasonló egy háromszögmátrixhoz. Ezt úgy lehet bizonyítani, hogy indukciót alkalmazva arra a tényre, hogy A-nak van egy sajátvektora, a sajátvektorral vett kvótatérrel és indukcióval megmutatjuk, hogy A stabilizál egy zászlót, és így háromszögelhető az adott zászló egy bázisa tekintetében.
Egy pontosabb állítást ad a Jordan-féle normálforma-tétel, amely kimondja, hogy ebben a helyzetben A hasonló egy nagyon sajátos alakú felső háromszögmátrixhoz. Az egyszerűbb háromszögelési eredmény azonban gyakran elegendő, és mindenképpen felhasználható a Jordan-féle normálforma-tétel bizonyításához.
Bonyolult mátrixok esetében a háromszögelésről többet is lehet mondani, nevezetesen azt, hogy minden A négyzetes mátrixnak van Schur-féle felbontása. Ez azt jelenti, hogy A egységesen ekvivalens (azaz egy unitárius mátrixot bázisváltásként használva hasonló) egy felső háromszögmátrixhoz; ez következik abból, hogy a zászlónak egy hermitiánus bázist veszünk.
Egyidejű háromszögelhetőségSzerkesztés
Az A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}} mátrixok halmaza.
egyidejűleg háromszögelhetőnek mondjuk, ha van olyan alap, amely szerint mind felső háromszögű; ekvivalens módon, ha egyetlen hasonlósági mátrix által felső háromszögelhetőek P. Egy ilyen mátrixhalmaz könnyebben megérthető, ha az általa generált mátrixok algebráját, nevezetesen az A i , {\displaystyle A_{i},}
K-val jelölt összes polinomot tekintjük. {\displaystyle K.}
A szimultán háromszögelhetőség azt jelenti, hogy ez az algebra konjugált a felső háromszögmátrixok Lie-algebrájába, és ez egyenértékű azzal, hogy ez az algebra egy Borel-algebra Lie-algebrája.
Az alapvető eredmény az, hogy (egy algebrailag zárt mező felett) az A , B {\displaystyle A,B}
vagy általánosabban A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
egyszerre háromszögelhetőek. Ez bizonyítható, ha először megmutatjuk, hogy a kommutáló mátrixoknak van egy közös sajátvektora, majd a dimenzióra indukáljuk a korábbiak szerint. Ezt Frobenius bizonyította be 1878-tól kezdve egy ingázó párra, amint azt az ingázó mátrixoknál tárgyaltuk. Ami egy mátrixot illeti, a komplex számok felett ezeket unitárius mátrixokkal lehet háromszögelni.
A tény, hogy az ingázó mátrixoknak közös sajátvektora van, a Hilbert-féle nullstellensatz eredményeként értelmezhető: a kommutáló mátrixok egy kommutatív algebrát alkotnak K {\displaystyle K}
felett K {\displaystyle K}
, amely a k-dimenziós affin térben egy sokaságként értelmezhető, és egy (közös) sajátérték (és így egy közös sajátvektor) létezése megfelel annak, hogy ennek a sokaságnak van egy pontja (nem üres), ami a (gyenge) Nullstellensatz tartalma. Algebrai szempontból ezek az operátorok megfelelnek a k változós polinomalgebra algebrai reprezentációjának.
Ezt általánosítja a Lie-tétel, amely megmutatja, hogy egy szolválható Lie-algebra bármely reprezentációja egyúttal felső háromszögelhető is, az ingadozó mátrixok esete az abeli Lie-algebra esete, az abeli pedig a fortiori szolválható.
Általánosabban és pontosabban, az A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}} mátrixok halmaza
egyidejűleg háromszögelhető, ha és csak akkor, ha a p ( A 1 , … , A k ) mátrix {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
nilpotens minden p polinomra k nem-közös változóban, ahol {\displaystyle }
a kommutátor; ingadozó A i {\displaystyle A_{i}} esetén
a kommutátor eltűnik, így ez érvényes. Ezt bizonyították (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); egy rövid bizonyítás található (Prasolov 1994, pp. 178-179). Az egyik irány egyértelmű: ha a mátrixok egyszerre háromszögelhetőek, akkor {\displaystyle }
szigorúan felső háromszögelhető (tehát nilpotens), ami bármely A k {\displaystyle A_{k}}-val való szorzás esetén megmarad.
vagy ezek kombinációja – a háromszögelő bázisban továbbra is 0-k lesznek az átlóban.