Először azt gondolhatod, hogy a végtelen osztva a végtelennel egyenlő eggyel. Hiszen minden önmagával osztott szám egyenlő eggyel, azonban a végtelen nem valós vagy racionális szám. Be fogom bizonyítani, hogy mi az, hogy a végtelen osztva végtelennel valójában egyenlő, és lehet, hogy nem fog tetszeni a válasz.
Először is meg fogom határozni ezt az axiómát (feltételezést), miszerint a végtelen osztva végtelennel egyenlő eggyel:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Mivel ∞ = ∞ + ∞, akkor az első végtelent be fogjuk helyettesíteni az axiómánkba:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
A következő lépés az, hogy ezt a törtet két törtre osztjuk:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Ezután az axiómát kétszer behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Végül ezt átírhatjuk a következőképpen:
| 2 | = 1 |
|---|
Ez az egyenlet nyilvánvalóan hibás. Ezért a végtelen osztva a végtelennel NEM egyenlő eggyel. Ehelyett bármely valós számot kaphatunk eggyel egyenlőnek, ha feltételezzük, hogy a végtelen osztva a végtelennel egyenlő eggyel, tehát a végtelen osztva a végtelennel nem definiált.
Ha még mindig nem hiszel nekem, próbáljuk meg ezt másképp bizonyítani. Kezdjük újra az axiómánkkal.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Ezután osszuk ezt a törtet két részre.
| ∞ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Megoldjuk az 1 és ∞ osztott törtjét. Elsőre azt gondolnánk, hogy az 1 osztva ∞-vel egyenlő 0-val, ez azonban nem helyes, mert ez azt jelentené, hogy 0 szorozva ∞-vel egyenlő lenne 1-gyel. És ez itt bizonyítottan nem igaz. Azonban az 1 osztva ∞-vel egyenlő egy 0-hoz közelítő határértékkel. Más szóval az 1 osztva ∞-vel nem egyenlő egy számmal, vagy meghatározatlan.
| ∞ * | definiálatlan | = 1 |
|---|
Az eredmény, hogy zsákutcába jutottunk. Ezért a végtelen osztva a végtelennel még mindig meghatározatlan.
by Phil for Humanity
on 01/07/2007