三角行列に近い行列を三角化可能（triangularizable）という。 抽象的には、これはフラグの安定化と等価です。上三角行列はまさに標準フラグを保存するもので、標準順序基底( e 1 , … , e n ) {displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} によって与えられます。
となり、結果としてフラグ 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⟨ e 1 , … ,e n ⟩ = K n とすることができます。 {< Leftlangle e_{1}rightrangle < Leftlangle e_{1},e_{2}rightrangle < Cdots < Leftlangle e_{1},\ldots ,e_{n}rightrangle =K^{n}.}.
すべてのフラグは共役なので(一般線形群は基底に推移的に作用するので)、フラグを安定化する行列は標準フラグを安定化する行列と似ています。
任意の複素正方行列は三角化可能である。 実際、Aのすべての固有値を含む場上の行列A（例えば、代数的に閉じた場上の任意の行列）は、三角行列に類似している。 これは、Aが固有ベクトルを持つという事実に対する帰納法を用いて、固有ベクトルによる商空間を取り、Aがフラグを安定化し、そのフラグの基底に関して三角化可能であることを示すことによって証明できる。
より正確な記述は、この状況では、Aが非常に特殊な形式の上三角行列に類似しているというヨルダン正規形定理によって与えられる。 しかし、より単純な三角化の結果で十分な場合が多く、いかなる場合でもヨルダン正規形定理の証明に使用されます。
複素行列の場合、三角化についてより詳しく述べることが可能で、すなわち、任意の正方行列Aはシューア分解を持つということです。 これは、Aは上三角行列と単位等価である（すなわち、基底の変更としてユニタリー行列を使用して類似している）ことを意味します。これは、フラグに対してエルミート基底を取ることによって導かれます。
同時三角化可能編集
A set of matrices A 1 , … , A k {displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}} }.
は、それらがすべて上三角になる基底がある場合、同時に三角化可能であるといいます。 {displaystyle K.} とする。
同時三角化可能とは、この代数が上三角行列のリー部分代数に共役であることであり、この代数がボレル部分代数のリー部分代数であることと等価である。
基本的な結果は、（代数的に閉じた場上で）交番行列A , B {displaystyle A,B} が
またはより一般的には A 1 , … , A k {displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}} 。
は同時に三角形化可能である。 これはまず、交わる行列が共通の固有ベクトルを持つことを示し、次に先ほどと同様に次元を帰納することで証明できる。 このことは、1878年からフロベニウスが、通電するペアについて証明しており、通電する行列のところで述べたとおりです。 単一の行列については、複素数の場合、ユニタリー行列で三角化することができます。
交番行列が共通の固有ベクトルを持つことは、ヒルベルトのNullstellensatzの結果と解釈できる。 commuting matrices form a commutative algebra K {displaystyle K}
over K {displaystyle K}
which can be interpreted as a variety in k-dimensional affine space and the (common) eigenvalue (and therefore a common eigenvector) is corresponding to this variety having a point (being non empty) which is the (weak) Nullstellensatz.Common eigenvalues は、この多様性が、空でない点を持つことに対応している。 代数学的に言えば、これらの演算子はk変数の多項式代数の代数表現に対応する。
これを一般化したのがLieの定理で、可解リー代数の任意の表現が同時に上三角化可能であることを示し、通約行列の場合はアベル型リー代数の場合で、アベル型は必然的に可解である。
より一般的かつ正確には、行列の集合A 1 , … , A k {displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}} がある。
は、行列p ( A 1 , … , A k ) {displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})} が同時に三角化可能な場合にのみ、三角化される。
is nilpotent for all polynomials p in k non-commuting variables, where {displaystyle }.
はコミュテータであり、コミュテータA i に対して {displaystyle A_{i}} は
交点は消失するので、これが成立する。 これは(Drazin, Dungey & Gruenberg 1951)で証明された。簡単な証明は(Prasolov 1994, pp. 178-179)に示されている。 一つの方向性は明らかで、もし行列が同時に三角形化可能なら、{displaystyle}は
は厳密に上三角化可能であり（したがってニルポテン）、これは任意の A k {displaystyle A_{k}} による乗算によって保存される。
あるいはその組み合わせで、三角化基底の対角線上に0があることに変わりはない。