例1：以下の文を調べます。
これらの文はそれぞれ閉文となる
定義:
したがって、例1の各閉鎖文は、以下に示すように真理値として真か偽のどちらかを持つ。
| すべての三角形には三つの辺がある。 | 真 | |
| オールバニーはニューヨーク州の州都である。 | 真 | |
| 偽 |
ただし2が素数なので第3文が偽であることに注意。 閉じた文が時間によって異なる真理値を持つことはあり得る。 これは以下の例2で実証されている。
例2:
| Bill Clinton was the 42nd President of the United States. |
| 彼女は数学に合格した。 | |
例3の文は開文です。
定義。 オープンセンテンスは、変数を含み、変数を置き換える値によって真または偽になる文です。
例題3をもう1度見てみましょう。 今回は、各開放文の変数を特定します。
| x + 3 = 7 | 変数はxです。 | |
| 変数がsheです。 | ||
| 変数はyである. | ||
| 変数は彼である. |
さて、変数の特定ができましたらこれらのオープンセンテンスの意味を分析してみましょう。 文1はxが4で置き換えられると真であるが、xが4以外の数で置き換えられると偽である。 文3はyが15で置き換えられると真であるが、そうでなければ偽である。 文2は変数 “she “の値によって真か偽のどちらかになる。 同様に、文4は変数 “he” の値によって真か偽のどちらかになる。 要約すると、各開放文の真理値は、その文の変数をどのような値で置き換えるかによる。
例4：
| Given: | pが、「野球はスポーツである」を表すとする。” |
| Let q represents, “There are 100 cents in a dollar.” | |
| Let r represents, “She does her homework.” | |
| Let s represent, “A dime is not a coin.” | |
| Let c: “There are a 100 cent in a dollar.” | |
| Let r: “She does her homework.「 | |
| 問題： | 以下の各文を記号で書き、それが真、偽、開放のいずれであるかを示せ。” |
| 問題： | 〜pは何を意味するか？ |
例題5では、pの否定を求めるよう求められている。
定義。 文 p の否定は “not p” です。 pの否定は”~p “で記号化される。 pの真理値はpの真理値の反対である
解答。 pは真であるから、～pは偽でなければならない。
| p: | 数9は奇数である。 | true |
| ~p: | 9は奇数ではない | false |
もう少し否定の例を見てみよう。
例6：
| r: | 7 < 5 | false |
| 〜r.R.。 | 7  5 |
true |
例7：
| a： | true | |
| ~a: | 二つの負の数の積は正の数ではない。 | false |
我々は、文とその否定のすべての可能な真理値を決定するには、真実表を構築することができます
定義.Define: 真理値表は、ステートメントのすべての可能な真理値を見つけるのに役立ちます。 各ステートメントは、真 (T) または偽 (F) のいずれかであり、両方ではありません。
例8：xの否定について真理値表を作成する。
解答。
| x | 〜x |
| T | F |
| F | T |
例8のとき、xが真のとき~xは偽で、xが偽であると~xは真である。 この真理値表から、文とその否定は反対の真理値を持つことがわかる。
例9：pの否定の真理値表を作成する。
解答：
| p | 〜p |
| T | F |
また否定することもできる。 例えば、～pの否定は～(～p)またはpである。これを以下の例で説明する。
例題10：pの否定と、pではないことの否定について真理値表を作る。
解答を示す。
| p | ~p | ~(~p) |
| T | F | T |
| F |
F |
まとめ。 ステートメントとは、真か偽のどちらかである文のことである。 閉じた文は、真または偽のどちらかである客観的な文である。 開文とは、変数を含み、その変数に代わる値によって真または偽になる文のことである。 文pの否定は “not p “で、”~p “で記号化される。 文とその否定は真理値が正反対である。 以下の各問題を読んでください。 そのボタンをクリックして、答えを選択する。 あなたの答えへのフィードバックは、結果ボックスに提供されます。
| 次のうち、閉じた文はどれですか？ | |
| “Jenny rides the bus” の否定はなんですか？ | |
| 次のうち、xの否定はどれでしょうか？ | |
|
||||||
| 以下のうち開文はどれか。 |