最初は、無限を無限で割ると1になると思うかもしれません。 結局、どんな数でもそれ自体で割れば1になるのですが、無限大は実数でも有理数でもありません。 これから無限大を無限大で割ると何になるかを証明しますが、あなたはその答えが気に入らないかもしれません。
まず、無限大を無限大で割ると1になる、という公理（仮定）を定義します。
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
∞ = ∞ + ∞なので、最初の∞を公理に代入していきます。
| ∞ + ∞ | = 1 |
|---|
次のステップは、この分数を2分割して考えることである。
| ∞ | + | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
次に公理を2回方程式に代入すると、次式が得られます。
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
最後にこれを書き換えると、次のようになる。
| 2 | = 1 |
|---|
この式は明らかに誤りである。 したがって、無限大を無限大で割ったものは1にはなりません。 むしろ無限大で割ったものが1になると仮定すると、どんな実数でも1になるのですから、無限大で割ったものは不定です。
それでも信じられないなら、別の方法で証明してみましょう。 もう一度公理から始めましょう。
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
次に、この分数を二つに分割してください。
| ∞ * | 1 ∞ |
= 1 |
|---|
1 を ∞で割った分数を解いてください。 最初、1÷∞は0になると思うでしょうが、それは0×∞が1になるということなので、正しくありません。 そして、それはここでは正しくないことが証明されている。 しかし、1を∞で割ると0に近づく限界になります。つまり、1を∞で割ったものは数字にならないか、不定です。
| ∞ * | undefined | = 1 |
|---|
結果、行き止まりとなったのである。 したがって、無限大を無限大で割ったものは、まだ未定義である。
by フィル・フォー・ヒューマニティ
on 01/07/2007