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Michael Fowler

Il massimo dell’efficienza del carburante per un motore termico

Tutti i motori termici standard (vapore, benzina, diesel) funzionano fornendo calore a un gas, il gas poi si espande in un cilindro e spinge un pistone a fare il suo lavoro. Quindi è facile capire come trasformare il calore in lavoro, ma questo è un affare da un colpo solo. Abbiamo bisogno che continui a ripetersi per avere un motore utile. Il calore e/o il gas devono quindi essere scaricati fuori dal cilindro prima che inizi il ciclo successivo, altrimenti tutto il lavoro che il gas ha compiuto nell’espandersi sarà usato per comprimerlo di nuovo!

Il nostro obiettivo in questa lezione è capire quanto efficiente possa essere un motore termico: qual è il massimo lavoro che possiamo ottenere per una data quantità di carburante in un processo ciclico? Esamineremo qui il modello ridotto all’essenziale: un gas ideale è racchiuso in un cilindro, con connessioni termiche esterne per fornire e togliere calore, e un pistone senza attrito per il gas per eseguire (e se necessario assorbire) lavoro meccanico:

Questo motore termico più semplice è chiamato motore di Carnot, per il quale un ciclo completo di riscaldamento/raffreddamento, espansione/contrazione fino al volume e alla temperatura originali del gas è un ciclo di Carnot, dal nome di Sadi Carnot che nel 1820 derivò la formula corretta per la massima efficienza possibile di un tale motore termico in termini di temperatura massima e minima del gas durante il ciclo.

Il risultato di Carnot era che se la massima temperatura calda raggiunta dal gas è T H , e la temperatura più fredda durante il ciclo è T C , (gradi kelvin, o meglio solo kelvin, naturalmente) la frazione di energia termica in ingresso che esce come lavoro meccanico, chiamata efficienza, è

Efficienza = T H – T C T H .

Questo era un risultato sorprendente, perché era esattamente corretto, nonostante fosse basato su un completo fraintendimento della natura del calore!

Come capire l’efficienza della ruota ad acqua era la chiave per capire il motore a calore

Carnot credeva che il calore, come l’elettricità, fosse un fluido che scorreva da cose calde a cose fredde (e in qualche modo attraverso lo spazio come radiazione).

Cosa motivò Carnot a cercare di calcolare l’efficienza energetica del vapore nel 1820? Beh, era il tempo della rivoluzione industriale, e l’efficienza della tua alimentazione determinava il tuo margine di profitto.

I grandi motori erano usati principalmente nella produzione di massa di tessuti, in fabbriche chiamate mulini. Fino alla fine del 1700 questi mulini erano situati vicino a fiumi che scorrevano velocemente, la fonte di energia era una grande ruota ad acqua, che girava una lunga asta rotante che si estendeva per tutta la lunghezza della fabbrica. Le corde prendevano energia dalle carrucole su quest’asta per far girare i singoli telai, che erano azionati da operai qualificati, spesso bambini. L’immagine qui sotto è molto più tarda (1914), e guidata dal vapore, ma mostra lo schema di alimentazione.

Il motore a vapore offriva un’alternativa attraente: non aveva bisogno di essere vicino a un fiume. Ma aveva bisogno di carbone o legna per il combustibile, a differenza del mulino ad acqua.

Siccome la principale fonte di energia industriale fino alla fine del 1700 era la ruota ad acqua, si pensò molto a renderla il più efficiente possibile, e siccome Carnot pensava che il calore fosse un fluido, usò il pensiero della ruota ad acqua per analizzare il motore a vapore. Quindi, come si fa a rendere una ruota ad acqua il più efficiente possibile?

L’acqua perde energia potenziale mentre viene portata giù dalla ruota, quindi la massima energia possibile è mgh watt, dove m è la massa d’acqua che scorre al secondo. (Stiamo ignorando possibili contributi di energia cinetica dall’acqua in entrata che entra velocemente – questo è un effetto molto piccolo, e non si applica all’analisi del motore termico di Carnot. Ovviamente, abbiamo bisogno del minor attrito possibile nella ruota. Ci deve essere un flusso regolare: niente schizzi d’acqua.

L’acqua deve fluire dentro e fuori la ruota senza cadere a un’altezza significativa, o perde tanta energia potenziale senza produrre lavoro.

Una ruota ad acqua perfetta sarebbe reversibile: potrebbe essere usata per guidare una copia di se stessa al contrario, per sollevare la stessa quantità di acqua al secondo che è caduta.

A parte: Una moderna ruota ad acqua inVirginia

C’è in Virginia una ruota ad acqua abbastanza efficiente: è circa l’80% di efficienza – la BathCounty hydroelectric pumped storage station. Si tratta di una ruota ad acqua, in realtà una turbina, ma che equivale alla stessa cosa meglio progettata, che funziona in entrambi i sensi. L’acqua da un lago superiore cade attraverso una tubatura verso una turbina e il lago inferiore, generando energia elettrica. In alternativa, l’energia elettrica può essere fornita per pompare l’acqua verso l’alto. Perché? Perché la domanda di elettricità varia, ed è meglio evitare, se possibile, di costruire centrali elettriche che funzionano solo durante il picco della domanda. È più conveniente immagazzinare energia nei momenti di bassa domanda.

La goccia h è circa 1200 piedi, 380 metri. La portata è di circa mille tonnellate al secondo. L’impianto genera circa 3 gigawatt, sostanzialmente più di un impianto nucleare a due unità, come il North Anna.

L’idea di Carnot: una “ruota ad acqua” per il calore

La convinzione di Carnot che il calore fosse un fluido (ce lo immaginiamo ancora così quando pensiamo alla conduzione del calore o, diciamo, alla cottura) lo portò ad analizzare il motore a vapore in parallelo ad una ruota ad acqua. Nella ruota ad acqua, l’acqua cade attraverso una differenza di potenziale agravitazionale e quell’energia potenziale viene trasformata in lavoro dalla ruota. Il “fluido elettrico” lo vediamo ora come un fluido che perde energia potenziale elettrica e produce lavoro o calore. Quindi, che dire del calore “fluido calorico” (come è stato chiamato)? Ovviamente, l’analogia con il potenziale gravitazionale è solo la temperatura! Mentre il gas nel cilindro si espande, fa lavoro, ma la sua temperatura scende.

Carnot assunse che il motore a vapore non fosse altro che una ruota ad acqua per questo fluido calorico, quindi il motore più efficiente avrebbe avuto un attrito minimo, ma anche, in analogia con l’acqua che entra ed esce delicatamente dalla ruota senza perdita intermedia di altezza, il calore sarebbe entrato ed uscito dal gas nel motore isotermicamente (ricordate che la temperatura è analoga al potenziale gravitazionale, quindi all’altezza). Quindi, per analogia con gh, la caduta di temperatura T H – T C misura l’energia potenziale ceduta da una quantità unitaria del “fluido termico”.

Il motore a vapore più efficiente avrebbe uno scambio di calore isotermico (differenze di temperatura trascurabili nello scambio di calore), come la ruota ad acqua più efficiente (solo una piccola caduta quando l’acqua entra ed esce dalla ruota). Naturalmente, questo è il limite teorico: qualche goccia è necessaria per il funzionamento. Ma il punto importante è che nel limite della perfetta efficienza, sia il motore che la ruota ad acqua sono reversibili – se forniti di lavoro, potrebbero trasformarlo nella stessa quantità di calore di cui avrebbero bisogno per generare quel lavoro in primo luogo.

Ma come si riferisce all’energia spesa per produrre il calore in primo luogo? Beh, Carnot sapeva un’altra cosa: c’era uno zero assoluto di temperatura. Quindi, ragionava, se si raffreddava il fluido fino allo zero assoluto, avrebbe ceduto tutta la sua energia termica. Quindi, la massima quantità possibile di energia che si può estrarre raffreddandolo da T H a T C è, quale frazione è quella di raffreddarlo allo zero assoluto?

È solo T H – T C T H !

Ovviamente, l’immagine del fluido calorico non è giusta, ma questo risultato lo è! Questa è la massima efficienza del motore aperfetto: e ricordate, questo motore è reversibile. Vedremo più tardi come usare questo fatto importante.

Per ottenere lavoro da un gas caldo in modo efficiente: Flussi isotermici e adiabatici

Ora passiamo ai dettagli per ottenere il massimo lavoro da un gas riscaldato. Vogliamo che il processo sia il più vicino possibile alla reversibilità: ci sono due modi per muovere il pistone in modo reversibile: isotermicamente, cioè il calore fluisce gradualmente dentro o fuori, da un serbatoio a una temperatura infinitesimamente diversa da quella del gas nel pistone, e adiabaticamente, in cui non c’è alcuno scambio di calore, il gas si comporta come una molla.

Quindi, mentre il calore viene fornito e il gas si espande, la temperatura del gas deve rimanere uguale a quella della fornitura di calore (il “serbatoio di calore”): il gas si espande isotermicamente. Allo stesso modo, deve contrarsi isotermicamente più tardi nel ciclo, quando perde calore.

Per capire l’efficienza, dobbiamo seguire il motore attraverso un ciclo completo, scoprendo quanto lavoro fa, quanto calore viene assorbito dal carburante e quanto calore viene scaricato per prepararsi al ciclo successivo. A questo punto potresti voler guardare l’applet per farti un’idea: il ciclo ha quattro passi, un’espansione isotermica quando il calore viene assorbito, seguita da un’espansione adiabatica, poi una contrazione isotermica quando il calore viene rilasciato, infine una contrazione adiabatica fino alla configurazione originale. Faremo un passo alla volta.

Passo 1: Espansione isotermica

Quindi la prima domanda è: quanto calore viene fornito, e quanto lavoro viene fatto, quando il gas si espande isotermicamente? Prendendo la temperatura del serbatoio di calore come T H (H per caldo), il gas in espansione segue il percorso isotermico PV=nR T H nel piano (P,V).

Il lavoro fatto dal gas in una piccola espansione di volume ΔV è solo PΔV, l’area sotto la curva (come abbiamo dimostrato nell’ultima lezione).

Quindi il lavoro fatto nell’espandersi isotermicamente dal volume V a a V b è l’area totale sotto la curva tra questi valori,

lavoro fatto isotermicamente= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Non c’è nessun cambiamento nella sua energia interna durante questa espansione, quindi il calore totale fornito deve essere nR T H ln V b V a , lo stesso del lavoro esterno che il gas ha fatto.

In realtà, questa espansione isoterma è solo il primo passo: il gas è alla temperatura del serbatoio di calore, più caldo dei suoi altri dintorni, e sarà in grado di continuare ad espandersi anche se la fornitura di calore viene interrotta. Per garantire che questa ulteriore espansione sia anche reversibile, il gas non deve perdere calore nell’ambiente circostante. Cioè, dopo l’interruzione della fornitura di calore, non ci deve essere un ulteriore scambio di calore con l’ambiente circostante, l’espansione deve essere adiabatica.

Passo 2: Espansione adiabatica

Per definizione, non viene fornito calore nell’espansione adiabatica, ma viene fatto del lavoro.

Il lavoro che il gas fa nell’espansione adiabatica è come quello di una molla compressa che si espande contro una forza – uguale al lavoro necessario per comprimerla in primo luogo, per un gas ideale (e perfettamente isolato). Quindi l’espansione adiabatica è reversibile.

Nell’espansione adiabatica, la pressione cade più ripidamente man mano che il volume aumenta, perché, in contrasto con il caso isotermico, nessuna energia termica viene fornita al gas mentre si espande, quindi il lavoro che il pistone può fare in un’espansione incrementale è necessariamente inferiore, la pressione deve diminuire.

Ovviamente, Carnot non la vedeva in questo modo, ma è utile pensare al gas in termini di molecole che volano in giro, e la pressione da esse che rimbalza sul pistone. Guarda l’applet qui per vedere come espandere il volume senza fornire energia termica abbassa la pressione. Per una compressione o espansione isoterma, la velocità della palla che rimbalza rimarrebbe costante (energia scambiata con le vibrazioni termiche delle pareti mentre rimbalza).

L’energia interna di n moli di un gas ideale alla temperatura T è n C V T. Questa è (nella nostra immagine moderna) l’energia cinetica delle molecole, e non dipende dal volume occupato dal gas.Quindi, la variazione di energia interna nell’espansione adiabatica è

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

quindi questo è il lavoro fatto dal gas espandendosi contro la pressione esterna.

Passi 3 e 4: Completamento del ciclo

Abbiamo visto in dettaglio il lavoro fatto da un gas che si espande quando viene fornito calore (isotermicamente) e quando non c’è scambio di calore (adiabaticamente). Queste sono le due fasi iniziali di un motore termico, ma è necessario che il motore torni al punto di partenza per il ciclo successivo. L’idea generale è che il pistone guida una ruota (come nel diagramma all’inizio di questa lezione), che continua a girare e spinge il gas al volume originale.

Ma è anche essenziale che il gas sia il più freddo possibile in questo ritorno, perché la ruota deve ora spendere lavoro sul gas, e noi vogliamo che sia il meno lavoro possibile – ci spaventa. Più freddo è il gas, minore è la pressione contro cui spinge la ruota.

Per assicurare che il motore sia il più efficiente possibile, questo percorso di ritorno al punto di partenza ( P a , V a ) deve anche essere reversibile. Non possiamo semplicemente ripercorrere il percorso fatto nelle prime due gambe, questo prenderebbe tutto il lavoro che il motore ha fatto lungo quelle gambe, e ci lascerebbe con nessun output netto. Ora il gas si è raffreddato durante l’espansione adiabatica da b a c, da T H a T C, diciamo, quindi possiamo tornare indietro di una certa distanza lungo l’isoterma reversibile più fredda T C. Ovviamente, questo non può portarci indietro fino a ( P a , V a ), perché questo è alla temperatura più calda T H . E’ altrettanto chiaro, però, che la nostra migliore scommessa è quella di rimanere il più freddo possibile per il maggior tempo possibile, a condizione che possiamo tornare all’inizio su un percorso reversibile (altrimenti stiamo perdendo efficienza). C’è davvero una sola opzione: restiamo sull’isoterma fredda finché non incontriamo l’adiabat che passa per il punto originale, poi completiamo il ciclo risalendo quell’adiabat (ricordiamo che iadiabat sono più ripidi delle isoterme).

Per immaginare il ciclo di Carnot nel piano (P, V), ricordiamo dalla lezione precedente il grafico che mostra due isoterme e due adiabati:

Il ciclo di Carnot è intorno a quel quadrilatero curvo che ha queste quattro curve come lati.

Ridisegniamo questo, un po’ meno realisticamente ma più convenientemente:

Efficienza del motore di Carnot

In un ciclo completo del motore termico di Carnot, il gas traccia il percorso abcd. La domanda importante è: quale frazione del calore fornito dal serbatoio caldo (lungo l’isoterma superiore rossa), chiamiamolo Q H , viene trasformato in lavoro meccanico? Questa frazione è naturalmente l’efficienza del motore.

Siccome l’energia interna del gas è la stessa alla fine del ciclo come all’inizio – è tornata alle stesse P e V – deve essere che il lavoro fatto sia uguale al calore netto fornito,

W= Q H – Q c ,

Q C è il calore scaricato mentre il gas viene compresso lungo l’isoterma fredda.

L’efficienza è la frazione del calore immesso che viene effettivamente convertito in lavoro, quindi

efficienza = W Q H = Q H – Q C Q H .

Questa è la risposta, ma non è particolarmente utile: misurare il flusso di calore, specialmente il calore residuo, è abbastanza difficile. Infatti, si è creduto a lungo che il flusso di calore in uscita fosse uguale a quello in entrata, e questo sembrava abbastanza plausibile perché l’efficienza dei primi motori era molto bassa.

Ma c’è un modo migliore per esprimere questo.

Ora il calore fornito lungo il percorso isotermico caldo iniziale ab è uguale al lavoro fatto lungo quel tratto, (dal paragrafo precedente sull’espansione isotermica):

Q H =nR T H ln V b V a

e il calore scaricato nel serbatoio freddo lungo cd è

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C sembra complicato, ma in realtà non lo è!

L’espressione può essere notevolmente semplificata usando le equazioni adiabatiche per gli altri due lati del ciclo:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Dividendo la prima di queste equazioni per la seconda,

( V b V a )=( V c V d )

e usandola nella precedente equazione per Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

Così per il ciclo di Carnot il rapporto tra calore fornito e calore scaricato è solo il rapporto delle temperature assolute!

Q H Q C = T H T C , o Q H T H = Q C T C .

Ricordatelo: sarà importante per sviluppare il concetto di entropia.

Il lavoro fatto può ora essere scritto semplicemente:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Pertanto il rendimento del motore, definito come la frazione dell’energia termica in entrata che viene convertita in lavoro disponibile, è

efficienza = W Q H =1- T C T H .

Queste temperature sono ovviamente in gradi Kelvin, quindi per esempio l’efficienza di un motore Carnot che ha un serbatoio caldo di acqua bollente e un serbatoio freddo di acqua fredda sarà 1-(273/373)=0,27, poco più di un quarto dell’energia termica si trasforma in lavoro utile. Questa è la stessa espressione che Carnot trovò nella sua analogia con la ruota ad acqua.

Dopo tutto lo sforzo per costruire un motore termico efficiente, rendendolo reversibile per eliminare le perdite per “attrito”, ecc., è forse un po’ deludente trovare questa cifra del 27% di efficienza quando si opera tra 0℃ e 100℃. Infatti, quando all’inizio del 1800 furono progettate le prime locomotive a vapore, si scoprì che il rapporto potenza/peso necessario per muoversi lungo un binario poteva essere raggiunto solo con caldaie ad alta pressione, cioè facendo bollire l’acqua a poche atmosfere (fino a dieci) di pressione. A 6 atmosfere di pressione, per esempio, la temperatura di ebollizione è di circa 280℃, o diciamo 550K (kelvin), quindi operare tra quella e la temperatura ambiente a 300K dà un’efficienza teorica di circa 250/550, o 45%, un grande miglioramento.

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