Exemplo 1: Examine as frases abaixo.
| Cada triângulo tem três lados. | |
| Albany é a capital do estado de Nova Iorque. | |
| > Nenhum número primo é igual. |
Cada uma destas frases é uma frase fechada.
Definição: Uma frase fechada é uma declaração objectiva que é verdadeira ou falsa.
Assim, cada frase fechada no Exemplo 1 tem um valor verdadeiro ou falso como mostrado abaixo.
| Cada triângulo tem três lados. | verdadeiro | |
| Albany é a capital do estado de Nova Iorque. | verdadeiro | |
| > | Nenhum número primo é igual. | falso |
Nota que a terceira frase é falsa uma vez que 2 é um número primo. É possível que uma frase fechada tenha valores de verdade diferentes em momentos diferentes. Isto é demonstrado no Exemplo 2 abaixo.
Exemplo 2:
| Hoje é terça-feira. | |
| Bill Clinton foi o 42º Presidente dos Estados Unidos. |
Exemplo 3: Examine as frases abaixo.
| x + 3 = 7 | ||
| She passou a matemática. | ||
| y – 4 = 11 | ||
| > | Ele é meu irmão. |
As frases do Exemplo 3 são frases abertas.
Definição: Uma frase aberta é uma declaração que contém uma variável e torna-se verdadeira ou falsa, dependendo do valor que substitui a variável.
Vamos dar outra olhada no Exemplo 3. Desta vez vamos identificar a variável para cada frase aberta.
| x + 3 = 7 | A variável é x. | |
| Ela passou a matemática. | >A variável é ela. | |
| y – 4 = 11 | >A variável é y. | |
| > | Ele é meu irmão. | A variável é he. |
Agora que identificamos as variáveis, podemos analisar o significado destas frases abertas. A frase 1 é verdadeira se x for substituído por 4, mas falsa se x for substituído por um número diferente de 4. A frase 3 é verdadeira se y for substituído por 15, mas falsa de outra forma. A frase 2 ou é verdadeira ou falsa, dependendo do valor da variável “ela”. Da mesma forma, a frase 4 ou é verdadeira ou falsa, dependendo do valor da variável “he”. Em resumo, o valor verdadeiro de cada frase aberta depende do valor que é usado para substituir a variável naquela frase.
Exemplo 4:
| Dado: | Deixe p representar, “O beisebol é um esporte.” |
| Deixe q representar, “Há 100 cêntimos num dólar.” | |
| Deixe r representar, “Ela faz o seu trabalho de casa.” | |
| Deixe s representar, “Um cêntimo não é uma moeda.” | |
| Problema: | Escreva cada frase abaixo usando símbolos e indique se é verdadeira, falsa ou aberta. |
Exemplo 5:
| Dado: | Dado: | Deixe p representar a frase fechada “O número 9 é ímpar.” |
| Problema: | O que significa ~p? |
No Exemplo 5 somos solicitados a encontrar a negação de p.
Definição: A negação da afirmação p é “não p”. A negação de p é simbolizada por “~p.”. O valor de verdade de ~p é o oposto do valor de verdade de p.
Solução: Como p é verdadeiro, ~p deve ser falso.
| p: | O número 9 é ímpar. | verdadeiro |
| ~p: | >O número 9 não é impar. | falso |
Vejamos mais alguns exemplos de negação.
Exemplo 6:
| r: | 7 < 5 | falso |
| ~r: | 7  5 |
verdadeiro |
Exemplo 7:
| a: | O produto de dois números negativos é um número positivo. | verdadeiro | |
| ~a: | O produto de dois números negativos não é um número positivo. | falso |
Podemos construir uma tabela de verdade para determinar todos os valores de verdade possíveis de uma afirmação e a sua negação.
Definição: Uma tabela de verdade ajuda-nos a encontrar todos os valores de verdade possíveis de uma afirmação. Cada afirmação é Verdadeiro (T) ou Falso (F), mas não ambas.
Conexão: Para nos ajudar a lembrar esta definição, pense num computador, que esteja ligado ou desligado, mas não ambos.
Exemplo 8: Construa uma tabela de verdade para a negação de x.
Solução:
| x | ~x |
| T | F |
| F | T |
No Exemplo 8, quando x é verdadeiro, ~x é falso; e quando x é falso, ~x é verdadeiro. A partir desta tabela de verdade, podemos ver que uma afirmação e sua negação têm valores de verdade opostos.
Exemplo 9: Construa uma tabela de verdade para a negação de p.
Solução:
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
Nós também podemos negar uma negação. Por exemplo, a negação de ~p é ~(~p) ou p. Isto é ilustrado no exemplo abaixo.
Exemplo 10: Construa uma tabela de verdade para a negação de p, e para a negação de não p.
Solução:
| p | ~p | ~(~p) |
| T | F | T |
| F | T |
F |
Sumário: Uma declaração é uma frase que é verdadeira ou falsa. Uma frase fechada é uma declaração objetiva que é verdadeira ou falsa. Uma frase aberta é uma declaração que contém uma variável e se torna verdadeira ou falsa, dependendo do valor que substitui a variável. A negação da expressão p é “não p”, simbolizada por “~p”. Uma declaração e sua negação tem valores de verdade opostos.
Exercícios
Direções: Leia cada pergunta abaixo. Selecione sua resposta clicando em seu botão. O feedback à sua resposta é fornecido na CAIXA DE RESULTADOS. Se você cometer um erro, escolha um botão diferente.
| Qual dos seguintes itens é uma frase fechada? | |
| Qual é a negação de, “Jenny anda de ônibus”? | |
| Qual dos seguintes é a negação de x? | |
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| Qual dos seguintes é uma frase em aberto? | |||