Coloque cada peito de frango entre 2 folhas de plástico resistente; libere a 1/2 polegada de espessura usando um macete de carne ou uma pequena frigideira pesada. Coloque 1 colher de chá de farinha em uma tigela pequena, e coloque a farinha restante em um prato raso. Polvilhe os dois lados do frango uniformemente com sal e pimenta. Dredge o frango em farinha em prato raso; sacudir o excesso.
Melt 1 colher de sopa de manteiga em uma frigideira grande em fogo médio-alto. Adicione 1 colher de sopa de óleo na frigideira; redemoinhe até cobrir. Adicione o frango à frigideira; salteie 4 minutos de cada lado ou até estar pronto. Retire o frango da panela; mantenha quente.
Calor restante 1 colher de sopa de óleo na panela; redemoinhe para revestir. Adicione chalotas à panela; salteie 3 minutos, mexendo com frequência. Adicione o alho; salteie 1 minuto, mexendo sempre. Adicione o vinho; deixe ferver, raspando a frigideira para soltar os pedaços de castanho. Cozinhar até o líquido quase evaporar, mexendo de vez em quando. Acrescente 1/4 de xícara de caldo de carne a 1 colher de chá de farinha reservada; mexa até ficar macio. Acrescente o restante 1/2 xícara de caldo de carne à panela; deixe ferver. Cozinhar até reduzir pela metade (cerca de 5 minutos). Mexa a mistura de farinha; cozinhe 1 minuto ou até ficar ligeiramente espessa, mexendo com frequência. Retire do fogo; mexa as 1 1/2 colheres de sopa restantes de manteiga, suco e alcaparras. Coloque 1 metade do peito de frango em cada um de 4 pratos; encha cada porção com cerca de 2 colheres de sopa de molho. Polvilhe cada porção com cerca de 2 colheres de sopa de salsa.