Quando si pensa a un vettore, molte persone probabilmente richiamano la definizione di Vector (da Despicable Me). Dice:
È un termine matematico. Una quantità rappresentata da una freccia con direzione e magnitudine. Vettore! Sono io–perché sto commettendo crimini con entrambe le direzioni e le grandezze! Oh sì!
Ok, ma davvero. Cos’è un vettore? Mi piace la seguente definizione (e questa è la definizione che do agli studenti in classe).
Vettore: una quantità con più di un elemento (più di una informazione).
Non è la migliore definizione, ma è meglio di “grandezza e direzione”. Forse il modo migliore per capire i vettori è guardare alcuni esempi. Supponiamo che io sia in una stanza e che mi sposti in diversi punti per misurare la temperatura. La temperatura in un particolare luogo ha solo un elemento (come 22° C). Poiché la temperatura ha solo un’informazione, la chiamiamo scalare. Altri esempi di scalari sarebbero: massa, carica elettrica, potenza, differenza di potenziale elettrico.
Ora supponiamo che io vada in giro in diversi punti della stanza per determinare il flusso d’aria. In ogni punto, l’aria può muoversi in tre direzioni diverse (x, y, z). Quindi, per misurare realmente la velocità dell’aria in ogni punto avrei bisogno di 3 elementi. Chiamiamo questa velocità dell’aria un vettore (un vettore tridimensionale) perché ha tre informazioni. Altri esempi di vettori sarebbero: forze, campi elettrici, accelerazione, spostamento.
Si possono avere vettori con più o meno di 3 elementi? Sì. Nei corsi di fisica introduttivi, è comune guardare solo i vettori con solo 2 dimensioni (x e y) solo per rendere le cose più semplici. Inoltre, si possono avere 4 o 5 o anche più dimensioni nei vettori. L’unico problema con i vettori di ordine superiore è che è più difficile visualizzarli nello spazio tridimensionale.
Il vettore zero
Ecco il vero problema con la definizione “grandezza e direzione” di un vettore–il vettore zero. Supponiamo di voler rappresentare uno spostamento in 2 dimensioni. Se partite dall’origine e vi spostate di 3 metri in direzione x e -2 in direzione y, potreste scriverlo come:
Se voleste, potreste trovare la grandezza di questo spostamento vettoriale con un valore di 3,61 metri. Potreste anche trovare la “direzione” di questo vettore e dire che è 33,7° sotto l’asse x. Ma se si volesse rappresentare lo spostamento che non va da nessuna parte? Potrei facilmente scriverlo come il seguente vettore:
Posso trovare la grandezza di questo vettore? Sì, è molto facile vedere che il vettore ha una magnitudine di zero metri. E la direzione? Beh, se lo spostamento non è andato da nessuna parte, non si può dire in quale direzione sia andato. La risposta migliore è dire che la direzione è indefinita. Quindi, ecco un caso di uno spostamento con magnitudine zero e una direzione indefinita. È un vettore? Assolutamente sì. Sono solo pignolo sulla definizione di un vettore? Probabilmente.
Il vettore zero nella fisica reale
Il vettore zero non è zero. Giusto per essere chiari, posso scrivere le seguenti due equazioni:
Sono quantità diverse. Non si può porre una quantità vettoriale uguale ad una quantità scalare. Semplicemente non si può fare. Tuttavia, succede. Questa equazione era in un testo introduttivo di fisica molto recente. Questo è esattamente il modo in cui l’equazione era visualizzata nel testo.
Il libro di testo stava cercando di mostrare l’idea di un oggetto in equilibrio. In equilibrio, la forza totale sull’oggetto è il vettore zero. Tuttavia, questa equazione dice che la somma totale delle forze vettoriali è proprio uguale a zero (lo scalare). Oh, forse stanno usando 0 per rappresentare il vettore zero? Sarebbe una spiegazione plausibile se non usassero frecce per rappresentare altri vettori. No, il vettore zero è ancora un vettore. Il modo migliore per mostrare questa equazione sarebbe:
In questa versione, c’è un vettore uguale a un vettore. Così va meglio.
Concludo con due note. In primo luogo, ho già parlato di vettori. Uno dei miei post preferiti è questa risposta a Khan Academy sui vettori. Essenzialmente, questa è la seconda parte di una discussione sulla risoluzione di problemi di cinematica in cui sostengo che si possono ancora usare i vettori anche se si tratta di un problema monodimensionale. In secondo luogo, se vuoi impostare i vettori uguali al vettore zero, assicurati di chiamarlo il vettore zero e non semplicemente “zero”.