Při představě vektoru se mnoha lidem pravděpodobně vybaví definice Vektora (z filmu Despicable Me). Říká:
Je to matematický pojem. Veličina znázorněná šipkou se směrem i velikostí. Vektor! To jsem já – protože páchám zločiny se směrem i velikostí! No jo!
Ok, ale vážně. Co je to vektor? Líbí se mi následující definice (a tuto definici dávám studentům v hodinách):
Vektor: veličina s více než jedním prvkem (více než jednou informací).
To není nejlepší definice, ale je lepší než „velikost a směr“. Asi nejlepším způsobem, jak pochopit vektory, je podívat se na několik příkladů. Předpokládejme, že jsem v místnosti a pohybuji se na různých místech, abych změřil teplotu. Teplota na určitém místě má jen jeden prvek (například 22 °C). Protože teplota obsahuje pouze jednu informaci, nazýváme ji skalár. Dalšími příklady skalárů by byly: hmotnost, elektrický náboj, výkon, rozdíl elektrických potenciálů.
Předpokládejme nyní, že se pohybuji na různých místech v místnosti, abych určil proudění vzduchu. V každém místě se může vzduch pohybovat ve třech různých směrech (x,y,z). Abych tedy skutečně změřil rychlost proudění vzduchu v každém místě, potřeboval bych 3 prvky. Tuto rychlost vzduchu nazýváme vektor (trojrozměrný vektor), protože obsahuje tři informace. Dalšími příklady vektorů by byly: síly, elektrické pole, zrychlení, posunutí.
Můžete mít vektory s více nebo méně než 3 prvky? Ano. V úvodních kurzech fyziky je běžné zabývat se pouze vektory s pouhými 2 rozměry (x a y), jen aby to bylo jednodušší. Také můžete mít vektory se 4 nebo 5 či dokonce více rozměry. Jediným problémem vektorů vyšších řádů je, že je obtížnější si je představit v trojrozměrném prostoru.
Nulový vektor
Tady je skutečný problém s definicí „velikosti a směru“ vektoru – nulový vektor. Předpokládejme, že chcete znázornit posunutí ve dvou rozměrech. Pokud začnete od počátku a posunete se o 3 metry ve směru x a -2 ve směru y, mohli byste to zapsat jako:
Pokud byste chtěli, mohli byste najít velikost tohoto vektoru posunutí s hodnotou 3,61 metru. Mohli byste také najít „směr“ tohoto vektoru a říci, že je 33,7° pod osou x. Ale co kdybyste chtěli znázornit posunutí, které nikam nesměřuje? To bych mohl snadno zapsat jako následující vektor:
Můžu najít velikost tohoto vektoru? Ano, velmi snadno zjistíme, že vektor má magnitudu nula metrů. A co směr? No, pokud posunutí ve skutečnosti nikam nevedlo, nemůžete říct, kterým směrem se pohybovalo. Nejlepší odpovědí je říci, že směr je neurčitý. Zde je tedy případ posunu s nulovou velikostí a neurčitým směrem. Je to vektor? Určitě. Jsem jen vybíravý, pokud jde o definici vektoru? Pravděpodobně.
Nulový vektor ve skutečné fyzice
Nulový vektor není nulový. Aby bylo jasno, mohu napsat následující dvě rovnice:
Jsou to různé veličiny. Nelze stanovit vektorovou veličinu rovnou skalární veličině. Prostě to nelze udělat. Nicméně se to stává. Tato rovnice byla ve velmi nedávné úvodní učebnici fyziky. Přesně takto byla rovnice v textu zobrazena.
Učebnice se snažila ukázat představu objektu v rovnováze. V rovnováze je celková síla působící na objekt nulovým vektorem. Tato rovnice však říká, že celkový součet vektorových sil je právě roven nule (skaláru). Aha, možná používají nulu jako symbol nulového vektoru? To by bylo věrohodné vysvětlení, kdyby nepoužívali šipky pro znázornění ostatních vektorů. Ne, nulový vektor je stále vektor. Nejlépe by se tato rovnice dala znázornit takto:
V této verzi je vektor roven vektoru. To je lepší.
Nakonec mi dovolte dvě poznámky. Za prvé, o vektorech jsem hovořil již dříve. Jedním z mých oblíbených příspěvků je tato odpověď Khanově akademii o vektorech. V podstatě se jedná o druhou část diskuse o řešení kinematických úloh, ve které tvrdím, že vektory můžete používat i v případě, že se jedná o jednorozměrnou úlohu. Za druhé, pokud chcete nastavit vektory rovné nulovému vektoru, ujistěte se, že ho nazýváte nulovým vektorem, a ne jen „nula“.