Free Press

forrige indeks næste PDF

Applet her!

Michael Fowler

Den ultimative brændstofeffektivitet for en varmemotor

Alle standard varmemotorer (damp, benzin, diesel) fungerer ved at tilføre varme til en gas, som derefter udvider sig i en cylinder og presser et stempel for at udføre sit arbejde. Så det er let at se, hvordan man kan omdanne varme til arbejde, men det er en engangsforestilling. Vi har brug for, at det gentager sig hele tiden for at få en brugbar motor. Varmen og/eller gassen skal derfor ud af cylinderen, inden den næste cyklus begynder, ellers vil alt det arbejde, som gassen leverede ved at udvide sig, blive brugt på at komprimere den igen!

Vores mål i denne forelæsning er at finde ud af, hvor effektiv en sådan varmemotor kan være: Hvad er det største arbejde, vi kan få for en given mængde brændstof i en cyklisk proces? Vi vil her undersøge modellen i dens væsentligste dele: en ideel gas er indesluttet i en cylinder med eksterne termiske forbindelser til at tilføre og fjerne varme, og et gnidningsfrit stempel, så gassen kan udføre (og om nødvendigt optage) mekanisk arbejde:

Denne enkleste varmemotor kaldes Carnot-motoren, for hvilken en fuldstændig opvarmnings-/afkølings-, udvidelses- og sammentrækningscyklus tilbage til den oprindelige gasmængde og temperatur er en Carnot-cyklus, opkaldt efter Sadi Carnot, der i 1820 udledte den korrekte formel for den størst mulige virkningsgrad af en sådan varmemotor i form af den maksimale og minimale gastemperatur i løbet af cyklusen.

Carnots resultat var, at hvis gassens maksimale varme temperatur er T H , og den koldeste temperatur i løbet af cyklussen er T C , (grader kelvin, eller rettere bare kelvin, naturligvis), er den del af den tilførte varmeenergi, der kommer ud som mekanisk arbejde, kaldet virkningsgraden,

Virkningsgrad = T H – T C T H .

Dette var et utroligt resultat, fordi det var nøjagtigt korrekt, selv om det var baseret på en fuldstændig misforståelse af varmens natur!

Hvordan forståelsen af vandhjulets virkningsgrad var nøglen til forståelsen af varmemotoren

Carnot troede, at varme ligesom elektricitet var en væske, der flød fra varme ting til kolde ting (og på en eller anden måde gennem rummet som stråling).

Hvad motiverede Carnot til at forsøge at beregne dampens virkningsgrad i 1820? Tja, det var den industrielle revolutions tid, og effektiviteten af din energiforsyning var afgørende for din fortjenstmargen.

Store motorer blev primært brugt til masseproduktion af stof i fabrikker, der blev kaldt møller. Indtil slutningen af 1700-tallet lå disse møller ved hurtigt strømmende floder, og energikilden var et stort vandhjul, som drejede en lang roterende stang, der strakte sig over hele fabrikkens længde. Reb tog kraften fra remskiver på denne stang til at dreje de enkelte vævestole, som blev betjent af mindre kvalificerede arbejdere, ofte børn. Billedet nedenfor er meget senere (1914) og er dampdrevet, men det viser drivskemaet.

Den dampdrevne maskine tilbød et attraktivt alternativ: den behøvede ikke at være tæt på en flod. Men den havde brug for kul eller træ som brændsel, i modsætning til vandmøllen.

Da vandhjulet var den vigtigste kilde til industriel energi op til slutningen af 1700-tallet, blev der tænkt meget over at gøre det så effektivt som muligt, og da Carnot mente, at varme var en væske, brugte han vandhjulstankegangen i analysen af dampmaskinen. Hvordan gør man så et vandhjul så effektivt som muligt?

Vandet mister potentiel energi, når det bæres ned af hjulet, så den størst mulige energi er mgh watt, hvor m er den masse af vand, der strømmer i sekundet. (Vi ser bort fra eventuelle kinetiske energitilskud fra det indgående vand, der kommer hurtigt ind – dette er en meget lille effekt og gælder ikke for Carnots varmemotoranalyse.)

Hvordan går energien til spilde? Vi har naturligvis brug for så lidt friktion i hjulet som muligt. Der skal være en jævn strømning: ingen vand, der plasker rundt.

Vandet skal strømme ind og ud af hjulet uden at falde nævneværdigt højt, ellers mister det så meget potentiel energi uden at producere arbejde.

Et perfekt vandhjul ville være reversibelt: det kunne bruges til at drive en kopi af sig selv baglæns, så det kunne løfte den samme mængde vand op i sekundet, som faldt.

Bortset fra : Et moderne vandhjul i Virginia

Der findes i Virginia et ret effektivt vandhjul: det er ca. 80 % effektivt – BathCounty hydroelektrisk pumpestation. Det er et vandhjul, egentlig en turbine,men det svarer til det samme, bedre udformet, og det fungerer begge veje. Vand fra en øvre sø falder gennem et rør til en turbine og den nedre sø og genererer elektrisk energi. Alternativt kan der leveres elektrisk strøm til at pumpe vandet op igen. Hvorfor? Fordi efterspørgslen efter elektricitet varierer, og det er bedre at undgå om muligt at bygge kraftværker, der kun kører i spidsbelastningsperioder. Det er billigere at lagre strøm i perioder med lav efterspørgsel.

Faldet er ca. 1200 fod, 380 meter. Strømningshastigheden er ca. 1 000 tons i sekundet. Anlægget genererer ca. 3 gigawatt, hvilket er væsentligt mere end et atomkraftværk med to enheder, som f.eks. North Anna.

Carnots idé: et “vandhjul” til varme

Carnots tro på, at varme er en væske (vi forestiller os stadig, at den flyder på den måde, når vi tænker på varmeledning eller f.eks. madlavning), fik ham til at analysere dampmaskinen parallelt med et vandhjul. I vandhjulet falder vandet gennem en gravitationel potentialforskel, og denne potentielle energi omdannes til arbejde af hjulet. Den “elektriske væske” ser vi nu som en væske, der mister elektrisk potentialeenergi og producerer arbejde eller varme. Hvad så med den varme “kaloriske væske” (som den blev kaldt)? Analogien til gravitationspotentialet er naturligvis bare temperatur! Når gassen i cylinderen udvider sig, udfører den arbejde, men dens temperatur falder.

Carnot antog, at dampmaskinen ikke var andet end et vandhjul for denne kaloriske væske, så den mest effektive motor ville have minimal friktion, men også, i analogi med vandet, der kommer ind og forlader hjulet forsigtigt uden mellemliggende tab af højde, ville varmen komme ind og forlade gassen i motoren isotermisk (husk, at temperaturen er analog med gravitationspotentialet, altså højden). Derfor måler temperaturfaldet T H – T C, analogt med gh, den potentielle energi, der afgives af en enhed af “varmevæsken”.

Den mest effektive dampmaskine ville have isotermisk varmeudveksling (ubetydelige temperaturforskelle i varmeudvekslingen), ligesom det mest effektive vandhjul (kun et lille fald, når vandet kommer ind i og ud af hjulet). Dette er naturligvis den teoretiske grænse: et vist fald er nødvendigt for driften. Men det vigtige punkt er, at i grænsen for perfekt effektivitet er både motor og vandhjul reversible – hvis de får arbejde, kan de omdanne det til den samme mængde varme, som de skal bruge for at generere dette arbejde i første omgang.

Men hvordan hænger det sammen med den energi, der bruges på at producere varmen i første omgang? Carnot vidste noget andet: der findes et absolut nulpunkt for temperaturen. Derfor, ræsonnerede han, ville væsken afgive al sin varmeenergi, hvis man nedkøler den til det absolutte nulpunkt. Så den maksimalt mulige mængde energi, man kan udvinde ved at afkøle den fra T H til T C, er, hvor stor en brøkdel er den ved at afkøle den til det absolutte nulpunkt?

Det er bare T H – T C T H !

Selvfølgelig er billedet af den kaloriske væske ikke rigtigt, men dette resultat er det! Dette er den maksimale virkningsgrad af en aperfect motor: og husk, at denne motor er reversibel. Vi vil se, hvordan vi kan bruge denne vigtige kendsgerning senere.

Få effektivt arbejde ud af en varm gas: Isotermiske og adiabatiske strømninger

Nu skal vi se nærmere på, hvordan man får mest muligt arbejde ud af en opvarmet gas. Vi ønsker, at processen skal være så tæt på at være reversibel som muligt: der er to måder at bevæge stemplet reversibelt på: isotermisk, hvilket betyder, at varmen gradvist strømmer ind eller ud fra et reservoir med en temperatur, der er uendelig forskellig fra temperaturen på gassen i stemplet, og adiabatisk, hvor der slet ikke sker nogen varmeudveksling, og hvor gassen blot fungerer som en fjeder.

Så når der tilføres varme, og gassen udvider sig, må gassens temperatur forblive den samme som varmetilførelsens (“varmebeholderens”) temperatur: gassen udvider sig isotermisk. På samme måde må den senere i cyklussen trække sig isotermisk sammen, når den afgiver varme.

For at beregne virkningsgraden skal vi følge motoren gennem en hel cyklus og finde ud af, hvor meget arbejde den udfører, hvor meget varme der optages fra brændstoffet, og hvor meget varme der afgives for at gøre den klar til den næste cyklus. Du kan kigge på appletten for at få et billede på dette punkt: cyklussen består af fire trin, en isotermisk ekspansion, når der optages varme, efterfulgt af en adiabatisk ekspansion, derefter en isotermisk sammentrækning, når der afgives varme, og til sidst en adiabatisk sammentrækning til den oprindelige konfiguration. Vi tager et trin ad gangen.

Trin 1: Isotermisk ekspansion

Så det første spørgsmål er: Hvor meget varme tilføres, og hvor meget arbejde udføres der, når gassen udvider sig isotermisk? Hvis man antager, at varmereservoirets temperatur er T H ( H for varm), følger den ekspanderende gas den isoterme bane PV=nR T H i ( P,V ) -planet.

Det arbejde, som gassen udfører i en lille volumenudvidelse ΔV, er blot PΔV, altså arealet under kurven (som vi beviste i sidste forelæsning).

Det arbejde, der udføres ved isotermisk ekspansion fra volumen V a til V b, er derfor det samlede areal under kurven mellem disse værdier,

arbejde udført isotermisk= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V b V a .

Der sker ingen ændring i dens indre energi under denne ekspansion, så den samlede tilførte varme må være nR T H ln V b V a , det samme som det ydre arbejde, som gassen har udført.

Denne isoterme ekspansion er faktisk kun det første trin: gassen har varme reservoirets temperatur, som er varmere end dens øvrigeomgivelser, og vil kunne fortsætte med at ekspandere, selv om varmetilførslen afbrydes. For at sikre, at denne yderligere ekspansion også er reversibel, må gassen ikke miste varme til omgivelserne. Det vil sige, at efter at varmetilførslen er afbrudt, må der ikke ske nogen yderligere varmeudveksling med omgivelserne, ekspansionen skal være adiabatisk.

Strin 2: Adiabatisk ekspansion

Par definition tilføres der ingen varme ved adiabatisk ekspansion, men der udføres arbejde.

Det arbejde, som gassen udfører ved adiabatisk ekspansion, svarer til det arbejde, som en komprimeret fjeder udfører, når den udvider sig mod en kraft – det er lig med det arbejde, der var nødvendigt for at komprimere den i første omgang, for en ideel (og perfekt isoleret) gas. Så adiabatisk ekspansion er reversibel.

Ved adiabatisk ekspansion falder trykket stejlere i takt med, at volumenet øges, fordi der i modsætning til det isoterme tilfælde ikke tilføres varmeenergi til gassen, mens den udvides, så det arbejde, som stemplet kan udføre ved en trinvis udvidelse, er nødvendigvis mindre, og trykket må derfor blive lavere.

Carnot så det naturligvis ikke på denne måde, men det er nyttigt at tænke på gassen i form af molekyler, der flyver rundt, og trykket fra dem, der preller af på stemplet. Se på appletten her for at se, hvordan en udvidelse af volumenet uden tilførsel af varmeenergi sænker trykket. Ved isotermisk kompression eller ekspansion vil den hoppende kugles hastighed forblive konstant (energi udveksles med termiske vibrationer i væggene, når den hopper af).

Den indre energi af n mol af en ideal gas ved temperatur T er n C V T. Dette er (i vores moderne billede) molekylernes kinetiske energi og afhænger ikke af det volumen, som gassen optager.Derfor er ændringen i den indre energi ved adiabatisk ekspansion

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

så dette er det arbejde, som gassen udfører ved at ekspandere mod det ydre tryk.

Strin 3 og 4: Afslutning af kredsløbet

Vi har set nærmere på det arbejde, som en gas udfører ved at ekspandere, når der tilføres varme (isotermisk), og når der ikke sker nogen varmeudveksling (adiabatisk). Det er de to indledende trin i en varmemotor, men det er nødvendigt for motoren at komme tilbage til det sted, hvor den begyndte, til den næste cyklus. Den generelle idé er, at stemplet driver et hjul (som i diagrammet i begyndelsen af denne forelæsning), som fortsætter med at dreje og skubber gassen tilbage til det oprindelige volumen.

Men det er også vigtigt, at gassen er så kold som muligt på denne returstrækning, fordi hjulet nu skal bruge arbejde på gassen, og vi ønsker, at det skal være så lidt arbejde som muligt – det koster os. Jo koldere gassen er, jo mindre tryk skal hjulet trykke imod.

For at sikre, at motoren er så effektiv som muligt, skal denne returvej til udgangspunktet ( P a , V a ) også være reversibel. Vi kan ikke bare følge den vej, der blev tilbagelagt på de to første ben, for det ville tage alt det arbejde, som motoren har udført på disse ben, og efterlade os uden nogen nettoydelse. Nu er gassen afkølet under den adiabatiske ekspansion fra b til c, f.eks. fra T H til T C , så vi kan gå et stykke tilbage langs den omvendelige koldere isoterm T C . Det kan naturligvis ikke føre os hele vejen tilbage til ( P a , V a ), fordi det er ved den varmere temperatur T H . Det er dog lige så klart, at det er bedst for os at forblive så kolde som muligt så længe som muligt, forudsat at vi kan komme tilbage til starten på en reversibel vej (ellers mister vi effektivitet). Der er egentlig kun én mulighed: vi bliver på den kolde isoterm, indtil vi møder den adiabat, der passerer gennem det oprindelige punkt, og fuldfører derefter cyklussen ved at gå op ad denne adiabat (husk, at adiabaterne er stejlere end isotermerne).

For at forestille sig Carnots cyklus i (P, V)-planet skal du huske grafen fra den foregående forelæsning, der viser to isotermer og to adiabater:

Carnots cyklus er omkring denne krumme firkant, der har disse fire kurver som sider.

Lad os tegne det igen, lidt mindre realistisk, men mere bekvemt:

Carnot-motorens virkningsgrad

I en fuldstændig cyklus i Carnots varmemotor følger gassen vejen abcd. Det vigtige spørgsmål er: Hvilken del af den varme, der tilføres fra det varme reservoir (langs den røde topisoterm), lad os kalde den Q H , bliver omdannet til mekanisk arbejde? Denne andel er naturligvis motorens virkningsgrad.

Da gassens indre energi er den samme i slutningen af cyklussen som i begyndelsen – den er tilbage til de samme P og V – må det udførte arbejde være lig med den tilførte nettovarme,

W= Q H – Q c ,

Q C er den varme, der afgives, når gassen komprimeres langs den kolde isoterm.

Virkningsgraden er den del af den tilførte varme, der faktisk omdannes til arbejde, så

virkningsgrad = W Q H = Q H = Q H – Q C Q H .

Dette er svaret, men det er ikke særlig nyttigt:Det er ret vanskeligt at måle varmestrømmen, især spildvarmen. Faktisk troede man længe, at varmestrømmen udad var lig med varmestrømmen indad, og det virkede ganske plausibelt, fordi virkningsgraden i de tidlige motorer var meget lav.

Men der er en bedre måde at udtrykke det på.

Nu er den varme, der tilføres langs den indledende varme isotermiske vej ab, lig med det arbejde, der udføres langs denne strækning,(fra afsnittet ovenfor om isotermisk ekspansion):

Q H =nR T H ln V b V a

og den varme, der dumpes ind i det kolde reservoir langs cd er

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C ser kompliceret ud, men det er det faktisk ikke!

Udtrykket kan forenkles betydeligt ved hjælp af de adiabatiske ligninger for de to andre sider af cyklusen:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Dividerer man den første af disse ligninger med den anden,

( V b V a )=( V c V d )

og anvender det i den foregående ligning for Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

Så for Carnotcyklus er forholdet mellem tilført varme og afgivet varme blot forholdet mellem de absolutte temperaturer!

Q H Q C = T H T C , eller Q H T H = Q C T C .

Husk dette: det vil være vigtigt ved udviklingen af entropibegrebet.

Det udførte arbejde kan nu skrives simpelt:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Motorens virkningsgrad, der er defineret som den del af den indgående varmeenergi, der omdannes til tilgængeligt arbejde, er derfor

virkningsgrad = W Q H =1- T C T H .

Disse temperaturer er naturligvis angivet i grader Kelvin, så f.eks. vil virkningsgraden af en Carnot-motor med et varmt reservoir af kogende vand og et koldt reservoir af iskoldt vand være 1-(273/373)=0,27 , dvs. at lidt over en fjerdedel af varmeenergien omdannes til nyttigt arbejde. Dette er det samme udtryk, som Carnot fandt ud fra sin analogi med vandhjulet.

Efter alle anstrengelserne for at konstruere en effektiv varmemotor, gøre den reversibel for at eliminere “friktionstab” osv. er det måske lidt skuffende at finde dette tal på 27% effektivitet, når den fungerer mellem 0℃ og 100℃. Da man i begyndelsen af 1800-tallet konstruerede de første damplokomotiver, fandt man faktisk ud af, at det nødvendige effekt/vægt-forhold til at bevæge sig langs et spor kun kunne opnås ved at have kedler med højt tryk, dvs. kogende vand med et tryk på nogle få atmosfærer (op til ti af dem). Ved et tryk på 6 atmosfærer er kogetemperaturen f.eks. ca. 280 ℃ eller 550 K (kelvin), så en drift mellem dette og stuetemperatur på 300 K giver en teoretisk virkningsgrad på ca. 250/550 eller 45 %, hvilket er en stor forbedring.

forrige indeks næste PDF