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Michael Fowler

Lo último en eficiencia de combustible para un motor térmico

Todos los motores térmicos estándar (vapor, gasolina, diésel) funcionan suministrando calor a un gas, el gas entonces se expande en un cilindro y empuja un pistón para hacer su trabajo. Así que es fácil ver cómo convertir el calor en trabajo, pero eso es un acuerdo de una sola vez. Necesitamos que se repita para tener un motor útil. Por lo tanto, el calor y/o el gas deben ser expulsados del cilindro antes de que comience el siguiente ciclo, de lo contrario todo el trabajo que el gas entregó al expandirse se utilizará para comprimirlo de nuevo.

Nuestro objetivo en esta conferencia es averiguar cuán eficiente puede ser un motor térmico de este tipo: ¿cuál es el mayor trabajo que podemos obtener para una cantidad dada de combustible en un proceso cíclico? Examinaremos aquí el modelo reducido a su esencia: un gas ideal está encerrado en un cilindro, con conexiones térmicas externas para suministrar y quitar calor, y un pistón sin fricción para que el gas realice (y si es necesario absorba) trabajo mecánico:

Este motor térmico más sencillo se denomina motor de Carnot, para el que un ciclo completo de calentamiento/enfriamiento, expansión/contracción hasta el volumen y la temperatura originales del gas es un ciclo de Carnot, llamado así por Sadi Carnot, quien en 1820 dedujo la fórmula correcta para la máxima eficiencia posible de dicho motor térmico en términos de las temperaturas máxima y mínima del gas durante el ciclo.

El resultado de Carnot fue que si la máxima temperatura caliente alcanzada por el gas es T H , y la temperatura más fría durante el ciclo es T C , (grados kelvin, o más bien sólo kelvin, por supuesto) la fracción de la energía térmica aportada que sale como trabajo mecánico, llamada eficiencia, es

Eficiencia = T H – T C T H . ¡

Este fue un resultado sorprendente, porque era exactamente correcto, a pesar de estar basado en un completo malentendido de la naturaleza del calor!

Cómo la comprensión de la eficiencia de la rueda hidráulica fue la clave para entender el motor térmico

Carnot creía que el calor, al igual que la electricidad, era un fluido que fluía de las cosas calientes a las frías (y de alguna manera a través del espacio como radiación).

¿Qué motivó a Carnot a intentar calcular la eficiencia energética del vapor en 1820? Bueno, era la época de la Revolución Industrial, y la eficiencia de su suministro de energía determinaba su margen de beneficio.

Las grandes máquinas se utilizaban principalmente en la producción en masa de telas, en fábricas llamadas molinos. Hasta finales de 1700, estos molinos estaban situados junto a ríos de gran caudal, la fuente de energía era una gran noria, que hacía girar una larga barra giratoria que se extendía a lo largo de la fábrica. Las cuerdas tomaban la fuerza de las poleas de esta barra para hacer girar los telares individuales, que eran manejados por trabajadores cualificados, a menudo niños. La imagen de abajo es muy posterior (1914), y está impulsada por el vapor, pero muestra el esquema de alimentación.

La máquina de vapor ofrecía una alternativa atractiva: no necesitaba estar cerca de un río. Pero necesitaba carbón o madera como combustible, a diferencia del molino de agua.

Como la principal fuente de energía industrial hasta finales del siglo XVII era la rueda hidráulica, se pensó mucho en hacerla lo más eficiente posible, y como Carnot pensaba que el calor era un fluido, utilizó el pensamiento de la rueda hidráulica para analizar la máquina de vapor. Entonces, ¿cómo hacer que una rueda hidráulica sea lo más eficiente posible?

El agua pierde energía potencial al ser llevada hacia abajo por la rueda, por lo que la mayor energía posible es mgh vatios, donde m es la masa de agua que fluye por segundo. (Estamos ignorando las posibles contribuciones de energía cinética del agua que entra rápidamente – este es un efecto muy pequeño, y no se aplica al análisis del motor de calor de Carnot.)

¿Cómo se desperdicia la energía? Obviamente, necesitamos la menor fricción posible en la rueda. Debe haber un flujo suave: que el agua no salpique.

El agua debe fluir dentro y fuera de la rueda sin caer a una altura significativa, o pierde esa cantidad de energía potencial sin producir trabajo.

Una rueda hidráulica perfecta sería reversible: podría utilizarse para impulsar una copia de sí misma hacia atrás, para elevar la misma cantidad de agua por segundo que cayó.

Aparte : Una moderna rueda hidráulica enVirginia

Hay en Virginia una rueda hidráulica bastante eficiente: tiene un rendimiento de alrededor del 80%: la estación hidroeléctrica de almacenamiento por bombeo del condado de Bath. Se trata de una rueda hidráulica, en realidad una turbina,pero que viene a ser lo mismo mejor diseñada, que funciona en ambos sentidos. El agua de un lago superior cae por una tubería hasta una turbina y el lago inferior, generando energía eléctrica. También se puede suministrar energía eléctrica para bombear el agua hacia arriba. ¿Por qué? Porque la demanda de electricidad varía y es mejor evitar, en la medida de lo posible, la construcción de centrales eléctricas que sólo funcionen durante los picos de demanda. Es mejor almacenar energía en momentos de baja demanda.

La caída h es de unos 1200 pies, 380 metros. El caudal es de unas mil toneladas por segundo. La planta genera unos 3 gigavatios, sustancialmente más que una planta nuclear de dos unidades, como North Anna.

La idea de Carnot: una «rueda de agua» para el calor

La creencia de Carnot de que el calor era un fluido (todavía nos lo imaginamos así al pensar en la conducción del calor o, por ejemplo, al cocinar) le llevó a analizar la máquina de vapor en paralelo a una rueda de agua. En la rueda de agua, el agua cae a través de una diferencia de potencial agravante y esa energía potencial es transformada en trabajo por la rueda. El «fluido eléctrico» lo vemos ahora como un fluido que pierde energía potencial eléctrica y produce trabajo o calor. Entonces, ¿qué pasa con el «fluido calórico» (como se llamaba)? Obviamente, la analogía con el potencial gravitatorio es sólo la temperatura. A medida que el gas en el cilindro se expande, hace trabajo, pero su temperatura disminuye.

Carnot asumió que la máquina de vapor no era más que una rueda de agua para este fluido calórico, por lo que el motor más eficiente tendría una fricción mínima, pero también, por analogía con el agua que entra y sale de la rueda suavemente sin pérdida intermedia de altura, el calor entraría y saldría del gas en el motor isotérmicamente (recuerde que la temperatura es análoga al potencial gravitacional, por lo tanto la altura). Por lo tanto, por analogía con gh, el descenso de la temperatura T H – T C mide la energía potencial cedida por una cantidad unitaria del «fluido térmico».

La máquina de vapor más eficiente tendría un intercambio de calor isotérmico (diferencias de temperatura insignificantes en el intercambio de calor), como la rueda de agua más eficiente (sólo una pequeña caída cuando el agua entra y sale de la rueda). Por supuesto, este es el límite teórico: es necesaria alguna caída para el funcionamiento. Pero lo importante es que, en el límite de la eficiencia perfecta, tanto el motor como la rueda hidráulica son reversibles: si se les suministra trabajo, podrían transformarlo en la misma cantidad de calor que necesitarían para generar ese trabajo en primer lugar.

¿Pero cómo se relaciona esto con la energía gastada para producir el calor en primer lugar? Bueno, Carnotk sabía algo más: había un cero absoluto de temperatura. Por lo tanto, razonó, si se enfriaba el fluido hasta el cero absoluto, éste cedería toda su energía calorífica. Entonces, la máxima cantidad posible de energía que se puede extraer al enfriarlo de T H a T C es, ¿qué fracción es la de enfriarlo hasta el cero absoluto?

¡Es sólo T H – T C T H! ¡

Por supuesto, la imagen del fluido calórico no es correcta, pero este resultado sí lo es! Esta es la máxima eficiencia del motor aperfecto: y recuerda, este motor es reversible. Veremos cómo utilizar este importante hecho más adelante.

Obteniendo trabajo de un gas caliente eficientemente: Flujos isotérmicos y adiabáticos

Ahora pasemos a los detalles para obtener el máximo trabajo de un gas caliente. Queremos que el proceso sea lo más cercano posible a la reversibilidad: hay dos maneras de mover el pistón de forma reversible: isotérmicamente, lo que significa que el calor fluye gradualmente hacia dentro o hacia fuera, desde un depósito a una temperatura infinitesimalmente diferente de la del gas en el pistón, y adiabáticamente, en el que no hay intercambio de calor en absoluto, el gas sólo actúa como un resorte.

Por lo tanto, a medida que se suministra el calor y el gas se expande, la temperatura del gas debe permanecer igual que la del suministro de calor (el «depósito de calor»): el gas se expande isotérmicamente. Del mismo modo, debe contraerse isotérmicamente más adelante en el ciclo a medida que pierde calor.

Para calcular la eficiencia, tenemos que seguir el motor a través de un ciclo completo, averiguar cuánto trabajo hace, cuánto calor se toma en el combustible, y cuánto calor se vierte en la preparación para el siguiente ciclo. Para entenderlo, puedes consultar el applet: el ciclo tiene cuatro pasos, una expansión isotérmica cuando se absorbe el calor, seguida de una expansión adiabática, luego una contracción isotérmica cuando se desprende el calor, y finalmente una contracción adiabática para volver a la configuración original. Lo haremos paso a paso.

Paso 1: Expansión isotérmica

Así que la primera pregunta es: ¿Cuánto calor se suministra, y cuánto trabajo se realiza, cuando el gas se expande isotérmicamente? Tomando la temperatura del depósito de calor como T H ( H para caliente), el gas en expansión sigue la trayectoria isotérmica PV=nR T H en el plano ( P,V ).

El trabajo realizado por el gas en una pequeña expansión de volumen ΔV es simplemente PΔV, el área bajo la curva (como demostramos en la última clase).

Por tanto, el trabajo realizado en la expansión isotérmica del volumen V a al V b es el área total bajo la curva entre esos valores,

trabajo realizado isotérmicamente= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

No hay ningún cambio en su energía internadurante esta expansión, por lo que el calor total suministrado debe ser nR T H ln V b V a , el mismo que el trabajo externo que ha realizado el gas.

De hecho, esta expansión isotérmica es sólo el primer paso:el gas está a la temperatura del depósito de calor, más caliente que sus otros alrededores, y podrá seguir expandiéndose incluso si se corta el suministro de calor. Para que esta expansión sea también reversible, el gas no debe perder calor en su entorno. Es decir, después de cortar el suministro de calor, no debe haber más intercambio de calor con los alrededores, la expansión debe ser adiabática.

Paso 2: Expansión adiabática

Por definición, no se suministra calor en la expansión adiabática, pero se realiza trabajo.

El trabajo que realiza el gas en la expansión adiabática es como el de un muelle comprimido que se expande contra una fuerza – igual al trabajo necesario para comprimirlo en primer lugar, para un gas ideal (y perfectamente aislado). Por lo tanto, la expansión adiabática es reversible.

En la expansión adiabática, la presión cae más abruptamente a medida que el volumen aumenta, porque, en contraste con el caso isotérmico, no se suministra energía térmica al gas mientras se expande, por lo que el trabajo que el pistón puede hacer en una expansión incremental es necesariamente menor, la presión debe ser menor.

Por supuesto, Carnot no lo vio de esta manera, pero es útil pensar en el gas en términos de moléculas volando alrededor, y la presión de ellos rebotando en el pistón. Mira el applet aquí para ver cómo la expansión del volumen sin suministrar energía térmica disminuye la presión. Para una compresión o expansión isotérmica, la velocidad de la bola que rebota se mantendría constante (energía intercambiada con las vibraciones térmicas de las paredes mientras rebota).

La energía interna de n moles de un gas ideal a la temperatura T es n C V T. Esto es (en nuestra imagen moderna) la energía cinética de las moléculas, y no depende del volumen ocupado por el gas.Por lo tanto, el cambio en la energía interna en la expansión adiabática es

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

así que este es el trabajo realizado por el gas que se expande contra la presión externa.

Pasos 3 y 4: Completar el ciclo

Hemos visto en detalle el trabajo que realiza un gas al expandirse mientras se le suministra calor (isotérmicamente) y cuando no hay intercambio de calor (adiabáticamente). Estos son los dos pasos iniciales de un motor térmico, pero es necesario que el motor vuelva al punto de partida, para el siguiente ciclo. La idea general es que el pistón impulsa una rueda (como en el diagrama al principio de esta conferencia), que sigue girando y empuja el gas de vuelta al volumen original.

Pero también es esencial que el gas esté tan frío como sea posible en esta etapa de retorno, porque la rueda ahora tiene que gastar trabajo en el gas, y queremos que sea el menor trabajo posible – nos asusta. Cuanto más frío esté el gas, menos presión ejercerá la rueda.

Para que el motor sea lo más eficiente posible, este camino de vuelta al punto de partida ( P a , V a ) también debe ser reversible. No podemos simplemente desandar el camino recorrido en los dos primeros tramos, eso se llevaría todo el trabajo que el motor hizo a lo largo de esos tramos, y nos dejaría sin salida neta. Ahora el gas se enfrió durante la expansión adiabática de b a c, de T H a T C , digamos, por lo que podemos volver a recorrer cierta distancia a lo largo de la isoterma más fría reversible T C . Obviamente, eso no puede llevarnos todo el camino de vuelta a ( P a , V a ), porque eso es a la temperatura más caliente T H . Sin embargo, está igualmente claro que nuestra mejor opción es permanecer lo más frío posible durante el mayor tiempo posible, siempre y cuando podamos volver al principio por un camino reversible (de lo contrario, estamos perdiendo eficiencia). Realmente sólo hay una opción: nos mantenemos en la isoterma fría hasta que encontremos el adiabat que pasa por el punto inicial, y entonces completamos el ciclo subiendo por ese adiabat (recuerda que losadiabats son más empinados que las isotermas).

Para representar el ciclo de Carnot en el plano (P, V), recuerda la gráfica de la clase anterior que muestra dos isotermas y dos adiabáticos:

El ciclo de Carnot gira en torno a ese cuadrilátero curvo que tiene como lados estas cuatro curvas.

Volvamos a dibujar esto, de forma algo menos realista pero más conveniente:

Eficiencia del motor de Carnot

En un ciclo completo de la máquina de calor de Carnot, el gas recorre el camino abcd. La pregunta importante es: ¿qué fracción del calor suministrado desde el depósito caliente (a lo largo de la isoterma superior roja), llamémosla Q H , se convierte en trabajo mecánico? Esta fracción es, por supuesto, la eficiencia del motor.

Dado que la energía interna del gas es la misma al final del ciclo que al principio, es decir, vuelve a ser la misma P y V, debe ser que el trabajo realizado es igual al calor neto suministrado,

W= Q H – Q c ,

Q C es el calor descargado cuando el gas se comprime a lo largo de la isoterma fría.

La eficiencia es la fracción de la entrada de calor que realmente se convierte en trabajo, por lo que

la eficiencia = W Q H = Q H – Q C Q H .

Esta es la respuesta, pero no es particularmente útil: medir el flujo de calor, especialmente el calor residual, es bastante difícil. De hecho, durante mucho tiempo se creyó que el flujo de calor que salía era igual al que entraba, y esto parecía bastante plausible porque la eficiencia de los primeros motores era muy baja.

Pero hay una forma mejor de expresar esto.

Ahora el calor suministrado a lo largo del camino isotérmico inicial ab es igual al trabajo realizado a lo largo de ese tramo,(del párrafo anterior sobre la expansión isotérmica):

Q H =nR T H ln V b V a

y el calor vertido al depósito frío a lo largo de cd es

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C parece complicado, pero en realidad no lo es!

La expresión puede simplificarse enormemente utilizando las ecuaciones adiabaticias para los otros dos lados del ciclo:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Dividiendo la primera de estas ecuaciones por la segunda,

( V b V a )=( V c V d )

y utilizando eso en la ecuación anterior para Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

Así que para el ciclo de Carnot la relación entre el calor suministrado y el calor descargado es sólo la relación de las temperaturas absolutas!

Q H Q C = T H T C , o Q H T H = Q C T C .

Recuerda esto: será importante en el desarrollo del concepto de entropía.

El trabajo realizado se puede escribir ahora de forma sencilla:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Por lo tanto, la eficiencia del motor, definida como la fracción de la energía térmica entrante que se convierte en trabajo disponible, es

eficiencia = W Q H =1- T C T H .

Estas temperaturas son, por supuesto, en grados Kelvin, por lo que, por ejemplo, la eficiencia de un motor de Carnot que tiene un depósito caliente de agua hirviendo y un depósito frío de agua helada será 1-(273/373)=0,27 ,poco más de una cuarta parte de la energía térmica se transforma en trabajo útil. Esta es la misma expresión que Carnot encontró a partir de su analogía con la rueda de agua.

Después de todo el esfuerzo para construir una máquina de calor eficiente, haciéndola reversible para eliminar las pérdidas por «fricción», etc., es quizás un poco decepcionante encontrar esta cifra de 27% de eficiencia cuando se opera entre 0℃ y 100℃. De hecho, cuando a principios del siglo XIX se diseñaron las primeras locomotoras de vapor, se descubrió que la relación potencia/peso necesaria para desplazarse por una vía sólo podía lograrse con calderas de alta presión, es decir, con agua hirviendo a unas cuantas atmósferas de presión (hasta diez). A una presión de 6 atmósferas, por ejemplo, la temperatura de ebullición es de unos 280℃, es decir, 550K (kelvin), por lo que operar entre eso y la temperatura ambiente a 300K da una eficiencia teórica de unos 250/550, o el 45%, una gran mejora.

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