Kun ajattelet vektoria, monille tulee varmaan mieleen Vektorin määritelmä (elokuvasta Despicable Me). Hän sanoo:
Se on matemaattinen termi. Nuolella esitetty suure, jolla on sekä suunta että suuruus. Vektori! Se olen minä – koska teen rikoksia, joilla on sekä suunta että suuruus! Ai niin!
Okei, mutta ihan oikeasti. Mikä on vektori? Pidän seuraavasta määritelmästä (ja tämän määritelmän annan oppilaille tunnilla):
Vektori: suure, jolla on useampi kuin yksi elementti (useampi kuin yksi informaatio).
Tämä ei ole paras määritelmä, mutta se on parempi kuin ”suuruus ja suunta”. Ehkä paras tapa ymmärtää vektorit on tarkastella joitakin esimerkkejä. Oletetaan, että olen huoneessa ja siirryn eri paikkoihin mittaamaan lämpötilaa. Lämpötila tietyssä paikassa on vain yksi elementti (esimerkiksi 22° C). Koska lämpötilassa on vain yksi tieto, kutsumme sitä skalaariksi. Muita esimerkkejä skalaareista olisivat: massa, sähkövaraus, teho, sähköinen potentiaaliero.
Asettakaamme nyt, että siirryn huoneen eri pisteisiin määrittääkseni ilmavirran. Jokaisessa pisteessä ilma voi liikkua kolmessa eri suunnassa (x,y,z). Jotta voisin todella mitata ilman nopeuden kussakin paikassa, tarvitsisin 3 elementtiä. Kutsumme tätä ilman nopeutta vektoriksi (kolmiulotteiseksi vektoriksi), koska siinä on kolme tietoa. Muita esimerkkejä vektoreista olisivat: voimat, sähkökentät, kiihtyvyys, siirtymä.
Voidaanko vektoreissa olla enemmän tai vähemmän kuin 3 elementtiä? Kyllä. Fysiikan johdantokursseilla on yleistä tarkastella vektoreita, joilla on vain kaksi ulottuvuutta (x ja y), jotta asiat olisivat yksinkertaisempia. Vektoreissa voi olla myös 4 tai 5 tai jopa enemmän ulottuvuuksia. Ainoa ongelma korkeamman asteen vektoreissa on se, että niitä on vaikeampi havainnollistaa kolmiulotteisessa avaruudessa.
Nollavektori
Tässä on todellinen ongelma vektorin ”suuruus- ja suuntamääritelmässä”–nollavektori. Oletetaan, että haluat esittää siirtymän 2-ulotteisesti. Jos aloitat origosta ja siirrät 3 metriä x-suunnassa ja -2 y-suunnassa, voisit kirjoittaa sen seuraavasti:
Jos haluaisit, voisit löytää tämän vektorisiirtymän suuruuden, jonka arvo on 3,61 metriä. Voisit myös löytää tämän vektorin ”suunnan” ja sanoa, että se on 33,7° x-akselin alapuolella. Mutta entä jos haluaisit esittää siirtymän, joka ei mene mihinkään? Voisin helposti kirjoittaa tämän seuraavaksi vektoriksi:
Voinko löytää tuon vektorin suuruuden? Kyllä, on hyvin helppo nähdä, että vektorin suuruus on nolla metriä. Entäpä suunta? No, jos siirtymä ei oikeastaan mennyt mihinkään, et voi oikein sanoa, mihin suuntaan se meni. Paras vastaus on sanoa, että suunta on määrittelemätön. Tässä on siis tapaus siirtymästä, jonka suuruus on nolla ja suunta määrittelemätön. Onko se vektori? Ehdottomasti. Olenko vain nirso vektorin määritelmän suhteen? Luultavasti.
Nollavektori todellisessa fysiikassa
Nollavektori ei ole nolla. Selvyyden vuoksi voin kirjoittaa seuraavat kaksi yhtälöä:
Nämä ovat eri suureita. Et voi asettaa vektorisuuretta yhtä suureksi skalaarisuurteen kanssa. Sitä ei yksinkertaisesti voi tehdä. Sitä kuitenkin tapahtuu. Tämä yhtälö oli hyvin tuoreessa fysiikan johdantokirjassa. Juuri näin yhtälö näytettiin tekstissä.
Lukukirjassa yritettiin näyttää ajatus tasapainossa olevasta kohteesta. Tasapainossa kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on nollavektori. Tämä yhtälö kuitenkin sanoo, että vektorivoimien kokonaissumma on juuri yhtä suuri kuin nolla (skalaari). Ai, ehkä he käyttävät 0:ta edustamaan nollavektoria? Se olisi uskottava selitys, jos he eivät käyttäisi nuolia kuvaamaan muita vektoreita. Ei, nollavektori on edelleen vektori. Paras tapa esittää tämä yhtälö olisi:
Tässä versiossa vektori on yhtä kuin vektori. Se on parempi.
Sallikaa minun lopettaa kahdella huomautuksella. Ensinnäkin olen puhunut vektoreista aiemminkin. Yksi suosikkipostauksistani on tämä vastaus Khan Academylle vektoreista. Pohjimmiltaan tämä on toinen osa kinematiikan ongelmien ratkaisemista koskevasta keskustelusta, jossa väitän, että voit silti käyttää vektoreita, vaikka kyseessä olisi yksiulotteinen ongelma. Toiseksi, jos haluat asettaa vektorit yhtä suureksi nollavektorin kanssa, varmista, että kutsut sitä nollavektoriksi etkä vain ”nollaksi”.