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Appareil ici !

Michael Fowler

Le nec plus ultra en matière de rendement énergétique pour un moteur thermique

Tous les moteurs thermiques standard (vapeur, essence, diesel) fonctionnent en fournissant de la chaleur à un gaz, le gaz se dilate ensuite dans un cylindre et pousse un pistoletpour effectuer son travail. Il est donc facile de voir comment transformer la chaleur en travail, mais il s’agit d’une opération unique. Nous avons besoin que cela se répète pour avoir un moteur utile. La chaleur et/ou le gaz doivent donc être évacués du cylindre avant le début du cycle suivant, sinon tout le travail fourni par le gaz en se dilatant sera utilisé pour le comprimer à nouveau !

Notre objectif dans ce cours est de déterminer l’efficacité d’un tel moteur thermique : quel est le travail le plus élevé que nous pouvons obtenir pour une quantité donnée de carburant dans un processus cyclique ? Nous examinerons ici le modèle dépouillé de sesessentiels : un gaz idéal est enfermé dans un cylindre, avec des connexions thermiques externes pour fournir et évacuer la chaleur, et un piston sans friction pour que le gaz effectue (et si nécessaire absorbe)un travail mécanique :

Ce moteur thermique le plus simple est appelé le moteur de Carnot, pour lequel un cycle complet de chauffage/refroidissement, de dilatation/contraction pour revenir au volume et à la température du gaz d’origine est un cycle de Carnot, du nom de Sadi Carnot qui, en 1820, a dérivé la formule correcte pour l’efficacité maximale possible d’un tel moteur thermique en termes de températures maximale et minimale du gaz pendant le cycle.

Le résultat de Carnot était que si la température maximale chaude atteinte par le gaz est T H , et la température la plus froide pendant le cycle est T C , (degrés kelvin, ou plutôt simplement kelvin, bien sûr) la fraction de l’entrée d’énergie thermique qui sort sous forme de travail mécanique , appelée le rendement, est

Rendement = T H – T C T H .

C’était un résultat étonnant, parce qu’il était exactement correct, bien qu’il soit basé sur une incompréhension totale de la nature de la chaleur !

Comment la compréhension du rendement de la roue à eau était la clé de la compréhension du moteur thermique

Carnot croyait que la chaleur, comme l’électricité, était un fluide qui s’écoulait des choses chaudes vers les choses froides (et en quelque sorte à travers l’espace sous forme de rayonnement).

Qu’est-ce qui a motivé Carnot à tenter de calculer le rendement énergétique de la vapeur en 1820 ? Eh bien, c’était l’époque de la révolution industrielle, et l’efficacité de votre alimentation en énergie déterminait votre marge de profit.

Les gros moteurs étaient principalement utilisés dans la production de masse de tissu, dans des usines appelées moulins. Jusqu’à la fin des années 1700, ces moulins étaient situés près de rivières au débit rapide, la source d’énergie était une grande roue à eau, elle faisait tourner une longue tige rotative qui s’étendait sur toute la longueur de l’usine. Des cordes prenaient la force des poulies sur cette tige pour faire tourner les métiers à tisser individuels, qui étaient actionnés par des ouvriers peu qualifiés, souvent des enfants. L’image ci-dessous est beaucoup plus tardive (1914), et fonctionne à la vapeur, mais montre le schéma d’alimentation.

Ce moteur à vapeur offrait une alternative attrayante : il n’avait pas besoin d’être proche d’une rivière. Mais il avait besoin de charbon ou de bois comme combustible, contrairement au moulin à eau.

Comme la principale source d’énergie industrielle jusqu’à la fin des années 1700 était la roue à eau, on a beaucoup réfléchi pour la rendre aussi efficace que possible, et comme Carnot pensait que la chaleur était un fluide, il a utilisé la pensée de la roue à eau pour analyser la machine à vapeur. Alors, comment rendre une roue à aubes aussi efficace que possible ?

L’eau perd de l’énergie potentielle lorsqu’elle est entraînée vers le bas par la roue, donc la plus grande énergie possible est mgh watts, où m est la masse d’eau qui s’écoule par seconde. (Nous ignorons les éventuelles contributions d’énergie cinétique de l’eau entrante qui arrive rapidement – c’est un effet très faible, qui ne s’applique pas à l’analyse du moteur thermique de Carnot.)

Comment l’énergie est-elle gaspillée ? Évidemment, nous avons besoin d’avoir le moins de friction possible dans la roue. Il doit y avoir un écoulement régulier : pas d’éclaboussures d’eau.

L’eau doit entrer et sortir de la roue sans descendre d’une hauteur significative, sinon elle perd autant d’énergie potentielle sans produire de travail.

Une roue à eau parfaite serait réversible : elle pourrait être utilisée pour entraîner une copie d’elle-même à l’envers, pour remonter la même quantité d’eau par seconde que celle qui est tombée.

Aside : Une roue à eau moderne enVirginie

Il existe en Virginie une roue à eau assez efficace : elle a un rendement d’environ 80% – la station hydroélectrique de pompage-turbinage de BathCounty. Il s’agit d’une roue hydraulique, en fait une turbine,mais cela revient à la même chose mieux conçue, qui fonctionne dans les deux sens. L’eau d’un lac supérieur tombe à travers une canalisation vers une turbine et le lac inférieur, générant ainsi de l’énergie électrique. Une autre solution consiste à fournir de l’énergie électrique pour pomper l’eau vers le haut. Pourquoi ? Parce que la demande d’électricité varie et qu’il vaut mieux éviter, si possible, de construire des centrales qui ne fonctionnent que pendant les pics de demande. Il est moins coûteux de stocker l’électricité lorsque la demande est faible.

La chute h est d’environ 1200 pieds, 380 mètres. Le débit est d’environ mille tonnes par seconde. La centrale produit environ 3 gigawatts, soit nettement plus qu’une centrale nucléaire à deux unités, comme celle de North Anna.

L’idée de Carnot : une « roue à eau » pour la chaleur

La conviction de Carnot que la chaleur était un fluide (nous l’imaginons encore circulant de cette façon en pensant à la conduction de la chaleur, ou, disons, à la cuisine) l’a conduit à analyser la machine à vapeur enparallèle à une roue à eau. Dans la roue à eau, l’eau tombe à travers une différence de potentiel gravitationnel et cette énergie potentielle est transformée en travail par la roue. Nous voyons maintenant le « fluide électrique » comme un fluide qui perd de l’énergie potentielle électrique et produit du travail ou de la chaleur. Alors, qu’en est-il du « fluide calorique » (comme on l’appelait) ? De toute évidence, l’analogie avec le potentiel gravitationnel est simplement la température ! Lorsque le gaz dans le cylindre se dilate, il fournit du travail, mais sa température diminue.

Carnot a supposé que la machine à vapeur n’était rien d’autre qu’une roue à eau pour ce fluide calorique, donc le moteur le plus efficace aurait une friction minimale, mais aussi, par analogie avec l’eau entrant et sortant doucement de la roue sans perte intermédiaire de hauteur, la chaleur entrerait et sortirait du gaz dans le moteur de manière isotherme(rappelez-vous que la température est analogue au potentiel gravitationnel, donc à la hauteur). Par conséquent, par analogie avec gh, la chute de température T H – T C mesure l’énergie potentielle cédée par une unité du « fluide thermique ».

La machine à vapeur la plus efficace aurait un échange thermique isotherme (différences de température négligeables dans l’échange thermique), comme la roue à eau la plus efficace (seulement une minuscule chute lorsque l’eau entre et sort de la roue). Bien sûr, il s’agit de la limite théorique : une certaine chute est nécessaire pour le fonctionnement. Mais le point important est que dans la limite de l’efficacité parfaite, le moteur et la roue à eau sont réversibles – si on leur fournit du travail, ils peuvent le transformer en la même quantité de chaleur qu’il leur faudrait pour générer ce travail en premier lieu.

Mais comment cela se rapporte-t-il à l’énergie dépensée pour produire la chaleur en premier lieu ? Eh bien, Carnot savait autre chose : il y avait un zéro absolu de température. Par conséquent, il pensait que si on refroidissait le fluide jusqu’au zéro absolu, il céderait toute son énergie thermique. Donc, la quantité maximale possible d’énergie que vous pouvez extraire en le refroidissant de T H à T C est, quelle fraction est celle du refroidissement au zéro absolu ?

C’est juste T H – T C T H !

Bien sûr, l’image du fluide calorique n’est pas juste, mais ce résultat l’est ! C’est le rendement maximal du moteur imparfait : et n’oubliez pas que ce moteur est réversible. Nous verrons plus tard comment utiliser ce fait important.

Sortir efficacement du travail d’un gaz chaud : Flux isothermes et adiabatiques

Passons maintenant aux détails pour obtenir le plus de travail possible d’un gaz chauffé. Nous voulons que le processus soit aussi proche que possible de la réversibilité : il y a deux façons de déplacer le piston de manière réversible : de manière isotherme, ce qui signifie que la chaleur entre ou sort progressivement, à partir d’un réservoir à une température infiniment différente de celle du gaz dans le piston, et de manière adiabatique, dans laquelle il n’y a pas du tout d’échange de chaleur, le gaz agit simplement comme un ressort.

Donc, lorsque la chaleur est fournie et que le gaz se dilate, la température du gaz doit rester la même que celle de la fourniture de chaleur (le « réservoir de chaleur ») : le gaz se dilate de manière isotherme. De même, il doit se contracter de manière isotherme plus tard dans le cycle, car il perd de la chaleur.

Pour calculer l’efficacité, nous devons suivre le moteur tout au long d’un cycle complet, en déterminant la quantité de travail qu’il effectue, la quantité de chaleur absorbée par le combustible et la quantité de chaleur rejetée pour se préparer au cycle suivant. Vous pouvez regarder l’applet pour vous faire une idée à ce stade : le cycle comporte quatre étapes, une expansion isotherme lorsque la chaleur est absorbée, suivie d’une expansion adiabatique, puis d’une contraction isotherme lorsque la chaleur est évacuée, et enfin d’une contraction adiabatique pour revenir à la configuration initiale. Nous allons procéder étape par étape.

Etape 1 : la dilatation isotherme

Donc la première question est : quelle quantité de chaleur est fournie, et quel travail est effectué, lorsque le gaz se dilate de façon isotherme ? En considérant que la température du réservoir de chaleur est T H ( H pour chaud), le gaz en expansion suit la trajectoire isotherme PV=nR T H dans le plan ( P,V ).

Le travail effectué par le gaz dans une petite expansion de volume ΔV est juste PΔV, l’aire sous la courbe (comme nous l’avons prouvé dans lelast cours).

Donc le travail effectué lors d’une expansion isotherme du volume V a à V b est l’aire totale sous la courbe entre ces deux valeurs,

travail effectué isothermement= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Il n’y a pas de changement dans son énergie internependant cette expansion, donc la chaleur totale fournie doit être nR T H ln V b V a , la même que le travail externe que le gaz a effectué.

En fait, cette expansion isotherme n’est que la première étape :le gaz est à la température du réservoir de chaleur, plus chaud que ses autresenvironnements, et pourra continuer à se dilater même si l’apport de chaleur est coupé. Pour que cette nouvelle expansion soit également réversible, le gaz ne doit pas perdre de chaleur au profit des autres composants. Autrement dit, après la coupure de l’apport de chaleur, il ne doit plus y avoir d’échange de chaleur avec les alentours, l’expansion doit être adiabatique.

Étape 2 : la dilatation adiabatique

Par définition, aucune chaleur n’est fournie dans la dilatation adiabatique, mais un travail est effectué.

Le travail que le gaz effectue dans la dilatation adiabatique est comme celui d’un ressort comprimé qui se dilate contre une force – égal au travail nécessaire pour le comprimer en premier lieu, pour un gaz idéal (et parfaitement isolé). L’expansion adiabatique est donc réversible.

En cas de détente adiabatique, la pression diminue plus fortement au fur et à mesure que le volume augmente, car, contrairement au cas isotherme, aucune énergie thermique n’est fournie au gaz lors de sa détente, donc le travail que le piston peut effectuer lors d’une détente incrémentale est nécessairement moindre, la pression doit être plus faible.

Bien sûr, Carnot ne voyait pas les choses de cette façon, mais il est utile de penser au gaz en termes de molécules volant autour, et à la pression qu’elles exercent en rebondissant sur le piston. Regardez l’applet ci-dessous pour voir comment l’expansion du volume sans apport d’énergie thermique fait baisser la pression. Pour une compression ou une expansion isotherme, la vitesse de la balle rebondissante resterait constante (énergie échangée avec les vibrations thermiques des parois lorsqu’elle rebondit).

L’énergie interne de n moles d’un gaz idéal à la température T est n C V T. C’est (dans notre image moderne) l’énergie cinétique des molécules, et ne dépend pas du volume occupé par le gaz.Par conséquent, la variation de l’énergie interne lors d’une expansion adiabatique est

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

c’est donc le travail effectué par le gaz qui se dilate contre la pression extérieure.

Étapes 3 et 4 : achèvement du cycle

Nous avons examiné en détail le travail effectué par un gaz en se détendant lors d’un apport de chaleur (isotherme) et lorsqu’il n’y a pas d’échange de chaleur (adiabatique). Ce sont les deux étapes initiales d’un moteur thermique, mais il est nécessaire que le moteur revienne à son point de départ, pour le cycle suivant. L’idée générale est que le piston entraîne une roue (comme dans le schéma du début de cette conférence), qui continue à tourner et repousse le gaz vers le volume initial.

Mais il est également essentiel que le gaz soit aussi froid que possible sur ce trajet de retour, car la roue doit maintenant dépenser du travail sur le gaz, et nous voulons que ce soit le moins de travail possible – cela nous fait perdre du temps. Plus le gaz est froid, moins la roue exerce de pression.

Pour que le moteur soit le plus efficace possible, ce chemin de retour au point de départ ( P a , V a ) doit aussi être réversible. Nous ne pouvons pas simplement retracer le chemin pris dans les deux premières étapes, ce qui prendrait tout le travail que le moteur a fait le long de ces étapes, et nous laisserait sans production nette. Maintenant, le gaz s’est refroidi pendant l’expansion adiabatique de b à c, de T H à T C , disons, et nous pouvons donc revenir sur une certaine distance le long de l’isotherme T C , plus froid et réversible. Il est évident que nous ne pouvons pas remonter jusqu’à ( P a , V a ), car nous sommes à la température plus chaude T H . Il est tout aussi clair, cependant, que notre meilleure option est de rester aussi froid que possible pendant aussi longtemps que possible, à condition que nous puissions revenir au point de départ par un chemin réversible (sinon nous perdons en efficacité). Il n’y a vraiment qu’une seule option:on reste sur l’isotherme froid jusqu’à rencontrer l’adiabat qui passe par le point d’origine, puis on complète le cycle en remontant cet adiabat (rappelons que les adiabats sont plus raides que les isothermes).

Pour se représenter le cycle de Carnot dans le plan (P, V), rappelez-vous du cours précédent le graphique montrant deux isothermes et deux adiabats :

Le cycle de Carnot se fait autour de ce quadrilatère courbe ayant pour côtés ces quatre courbes.

Représentons ceci, de façon un peu moins réaliste mais plus commode:

Efficacité du moteur de Carnot

Dans un cycle complet du moteur thermique de Carnot, le gaz suit le chemin abcd. La question importante est la suivante : quelle fraction de la chaleur fournie par le réservoir de chaleur (le long de l’isotherme du sommet rouge), appelons-la Q H , est transformée en travail mécanique ? Cette fraction est bien sûr le rendement du moteur.

Puisque l’énergie interne du gaz est la même à la fin du cycle qu’au début – on retrouve les mêmes P et V – il faut que le travail effectué soit égal à la chaleur nette fournie,

W= Q H – Q c ,

Q C étant la chaleur évacuée lorsque le gaz est comprimé le long de l’isotherme froid.

Le rendement est la fraction de l’apport de chaleur qui est effectivement convertie en travail, donc

le rendement = W Q H = Q H – Q C Q H .

Voici la réponse, mais elle n’est pas particulièrement utile : mesurer le flux de chaleur, en particulier la chaleur perdue, est assez difficile. En fait, on a longtemps cru que le flux de chaleur sortant était égal à celui entrant, et cela semblait tout à fait plausible parce que le rendement des premiers moteurs était très faible.

Mais il y a une meilleure façon d’exprimer cela.

Maintenant, la chaleur fournie le long du trajet isotherme chaud initial ab est égale au travail effectué le long de ce trajet,(du paragraphe ci-dessus sur l’expansion isotherme):

Q H =nR T H ln V b V a

et la chaleur déversée dans le réservoir froid le long de cd est

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C semble compliqué, mais en fait il ne l’est pas!

L’expression peut être grandement simplifiée en utilisant les équations adiabatiques pour les deux autres côtés du cycle:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Divisant la première de ces équations par la seconde,

( V b V a )=( V c V d )

et utilisant cela dans l’équation précédente pour Q C ,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

Donc, pour le cycle de Carnot, le rapport entre la chaleur fournie et la chaleur évacuée est juste le rapport des températures absolues!

Q H Q C = T H T C , ou Q H T H = Q C T C .

Mémorisez ceci : ce sera important pour développer le concept d’entropie.

Le travail effectué peut maintenant s’écrire simplement :

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

Donc le rendement du moteur, défini comme la fraction de l’énergie thermique entrante qui est convertie en travail disponible, est

le rendement = W Q H =1- T C T H .

Ces températures sont bien sûr en degrés Kelvin, donc forexample le rendement d’un moteur de Carnot ayant un réservoir chaud d’eau bouillante et un réservoir froid d’eau glacée sera 1-(273/373)=0,27 ,un peu plus d’un quart de l’énergie thermique est transformé en travail utile. C’est la même expression que Carnot a trouvé à partir de son analogie avec la roue à eau.

Après tous les efforts pour construire un moteur thermique efficace, le rendre réversible pour éliminer les pertes par « friction », etc., il est peut-être un peu décevant de trouver ce chiffre de 27% d’efficacité lorsqu’il fonctionne entre 0℃ et 100℃. En fait, lorsque les premières locomotives à vapeur ont été conçues au début des années 1800, on a découvert que le rapport puissance/poids nécessaire pour se déplacer sur une voie ferrée ne pouvait être atteint qu’avec des chaudières à haute pression, c’est-à-dire en faisant bouillir l’eau à une pression de quelques atmosphères (jusqu’à une dizaine). A 6 atmosphères de pression, par exemple, la température d’ébullition est d’environ 280℃, ou disons 550K (kelvin), donc fonctionner entre cela et la température ambiante à 300K donne un rendement théorique d’environ 250/550, ou 45%, une grande amélioration.

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