Free Press

előző index következő PDF

Applet itt!

Michael Fowler

A hőmotorok végső üzemanyag-hatékonysága

Minden hagyományos hőmotor (gőz, benzin, dízel) úgy működik, hogy hőt ad egy gáznak, a gáz ezután kitágul egy hengerben és egy dugattyút tol, hogy elvégezze a munkát. Így könnyű belátni, hogyan lehet a hőt munkává alakítani, de ez egy egyszeri alkalom. Ahhoz, hogy egy hasznos motorunk legyen, folyamatosan ismétlődnie kell. A hőt és/vagy a gázt tehát ki kell üríteni a hengerből, mielőtt a következő ciklus elkezdődik, különben a gáz által a tágulás során kifejtett munka a visszasűrítésre megy el!

Az előadás célja, hogy kitaláljuk, mennyire lehet hatékony egy ilyen hőmotor: mennyi a legnagyobb munka, amit adott mennyiségű üzemanyaggal egy ciklikus folyamat során elérhetünk? A modellt itt a lényegre lecsupaszítva vizsgáljuk meg: egy ideális gáz van hengerbe zárva, külső hőcsatlakozásokkal a hő be- és kivezetésére, és egy súrlódásmentes dugattyúval, hogy a gáz mechanikai munkát végezzen (és szükség esetén felvegyen):

Ezt a legegyszerűbb hőmotort Carnot-motornak nevezzük, amelynek egy teljes fűtési/hűtési, tágulási/összehúzódási ciklusa vissza az eredeti gázmennyiséghez és hőmérséklethez egy Carnot-ciklus, amelyet Sadi Carnot-ról neveztek el, aki 1820-ban levezette a helyes formulát egy ilyen hőmotor maximális lehetséges hatásfokára a ciklus során a gáz maximális és minimális hőmérsékletére vonatkozóan.

Carnot eredménye az volt, hogy ha a gáz által elért maximális forró hőmérséklet T H , és a ciklus során a leghidegebb hőmérséklet T C (természetesen kelvin fok, vagy inkább csak kelvin), akkor a bevitt hőenergia mechanikai munkaként kijövő hányada, az úgynevezett hatásfok,

Hatékonyság = T H – T C T H .

Ez egy elképesztő eredmény volt, mert pontosan helyes volt,annak ellenére, hogy a hő természetének teljes félreértésén alapult!

Hogyan a vízkerék hatásfokának megértése volt a kulcs a hőgép megértéséhez

Carnot úgy vélte, hogy a hő, akárcsak az elektromosság, egy folyadék, amely forró dolgokból hideg dolgokba áramlik (és valahogy a téren keresztül sugárzásként).

Mi motiválta Carnot-t, hogy 1820-ban megpróbálja kiszámítani a gőz energiahatékonyságát? Nos, ez volt az ipari forradalom időszaka, és az energiaellátás hatékonysága meghatározta a haszonkulcsot.

A nagy motorokat elsősorban a tömeges ruhagyártásban használták, a malmoknak nevezett gyárakban. Az 1700-as évek végéig ezek a malmok gyors folyású folyók mellett helyezkedtek el, az erőforrás egy nagy vízkerék volt, amely egy hosszú forgó rudat forgatott, amely a gyár hosszában húzódott. A rúdon lévő csigákról kötelek vezették az erőt az egyes szövőszékek forgatásához, amelyeket szakképzetlen munkások, gyakran gyerekek működtettek. Az alábbi kép jóval később készült (1914), és gőzzel hajtott, de a meghajtási sémát mutatja.

A gőzgép vonzó alternatívát kínált: nem kellett a folyó közelében lennie. De a vízimalommal ellentétben szénre vagy fára volt szükség tüzelőanyagként.

Mivel az ipari energia fő forrása az 1700-as évek végéig a vízkerék volt, sok gondolat ment arra, hogy minél hatékonyabbá tegyék, és mivel Carnot a hőt folyadéknak tekintette, a gőzgép elemzésekor a vízkerék-gondolkodást használta. Szóval, hogyan lehet egy vízkereket a lehető leghatékonyabbá tenni?

A víz potenciális energiát veszít, ahogy a kerék lefelé viszi, így a lehető legnagyobb energia mgh watt, ahol m a másodpercenként áramló víz tömege. (Figyelmen kívül hagyjuk a gyorsan bejövő víz esetleges kinetikus energia-hozzájárulását – ez egy nagyon kis hatás, és nem vonatkozik Carnot hőmotorjának analízisére.)

Hogyan pazarolódik az energia? Nyilvánvalóan minél kisebb súrlódásra van szükségünk a kerékben. Sima áramlásnak kell lennie: ne fröcsköljön a víz.

A víznek úgy kell be- és kiáramlania a kerékbe, hogy ne essen jelentős magasságba,különben annyi potenciális energiát veszít anélkül, hogy munkát termelne.

Egy tökéletes vízkerék megfordítható lenne: önmagának egy másolatát lehetne vele visszafelé hajtani, hogy másodpercenként ugyanannyi vizet emeljen fel, mint amennyi leesett.

Melléklet : Egy modern vízikerék Virginiában

Virginiában van egy elég hatékony vízikerék: kb. 80%-os hatékonyságú – a BathCounty vízerőmű szivattyús tárolója. Ez egy vízkerék, valójában egy turbina,de ez ugyanazt jelenti jobban megtervezve, ami mindkét irányba működik. A víz a felső tóból egy csövön keresztül egy turbinába és az alsó tóba jut, és elektromos áramot termel. Alternatív megoldásként elektromos áramot lehet szolgáltatni a víz visszapumpálásához. Miért érdekel? Mert a villamosenergia iránti kereslet változik, és ha lehet, jobb elkerülni, hogy olyan erőműveket építsünk, amelyek csak a csúcskereslet idején működnek. Sokkal egyszerűbb az energiát alacsony kereslet idején tárolni.

A vízesés kb. 1200 láb, 380 méter. Az áramlási sebesség körülbelül ezer tonna másodpercenként. Az erőmű körülbelül 3 gigawattot termel, lényegesen többet, mint egy két blokkos atomerőmű, például a North Anna.

Carnot ötlete: egy “vízkerék” a hő számára

Carnot meggyőződése, hogy a hő folyadék (még mindig így képzeljük el, amikor a hővezetésre vagy mondjuk a főzésre gondolunk), arra késztette, hogy a gőzgépet egy vízkerékkel párhuzamosan elemezze. A vízkerékben a víz agravitációs potenciálkülönbségen keresztül esik, és ezt a potenciális energiát a kerék munkává alakítja át. Az “elektromos folyadékot” most úgy tekintjük, mint egy folyadékot, amely elektromos potenciális energiát veszít és munkát vagy hőt termel. Mi a helyzet tehát a hő “kalorikus folyadékkal” (ahogyan nevezték)? Nyilvánvaló, hogy a gravitációspotenciál analógiája csak a hőmérséklet! Ahogy a gáz a hengerben tágul, munkát végez, de a hőmérséklete csökken.

Carnot feltételezte, hogya gőzgép nem más, mint egy vízkerék ennek a kalorikus folyadéknak, így a leghatékonyabb motornak minimális súrlódása lenne, de emellett, analóg módon azzal, hogy a víz finoman, közbeeső magasságveszteség nélkül lép be és lép ki a kerékből, a hő izotermikusan lépne be és lép ki a gázból a motorban (ne feledjük, hogy a hőmérséklet analóg a gravitációs potenciállal, tehát a magassággal). Ezért a gh analógiájára a T H – T C hőmérsékletcsökkenés a “hőfolyadék” egy egységnyi mennyisége által leadott potenciális energiát méri.

A leghatékonyabb gőzgépnek izotermikus hőcseréje lenne (elhanyagolható hőmérsékletkülönbség a hőcserében), mint a leghatékonyabb vízkeréknek (csak egy apró csepp, ahogy a víz belép és kilép a kerékből). Természetesen ez az elméleti határ: a működéshez szükség van némi csökkenésre. De a lényeg az, hogy a tökéletes hatásfok határán mind a motor, mind a vízkerék reverzibilis – ha munkával látják el őket, akkor azt ugyanannyi hővé tudják átalakítani, amennyire a munka előállításához szükségük lenne.

De hogyan viszonyul ez ahhoz az energiához, amit a hő előállítására fordítottak? Nos, Carnot tudott még valamit: létezik a hőmérséklet abszolút nullpontja. Ezért arra gondolt, hogy ha a folyadékot abszolút nullára hűtjük, akkor az minden hőenergiáját leadja. Tehát a maximálisan lehetséges energiamennyiség, amelyet T H-ról T C-re hűtve ki lehet nyerni, mekkora töredéke az abszolút nullára hűtésnek?

Ez csak T H – T C T H !

A kalorikus folyadék kép persze nem helyes, de ez az eredmény igen! Ez az aperfekt motor maximális hatásfoka: és ne feledjük, ez a motor megfordítható. Később látni fogjuk, hogyan használhatjuk ezt a fontos tényt.

A forró gázból hatékonyan kihozni a munkát: Izotermikus és adiabatikus áramlások

Most térjünk rá a felhevített gázból a lehető legnagyobb munka kihozatalának részleteire. Azt akarjuk, hogy a folyamat a lehető legközelebb legyen a reverzibilishez: a dugattyút kétféleképpen lehet reverzibilisen mozgatni: izotermikusan, vagyis fokozatosan áramlik be vagy ki a hő, a dugattyúban lévő gáz hőmérsékletétől végtelenül különböző hőmérsékletű tartályból, és adiabatikusan, amikor egyáltalán nincs hőcsere, a gáz csak rugóként viselkedik.

Amíg tehát a hőt adagoljuk és a gáz tágul, a gáz hőmérsékletének azonosnak kell maradnia a hőforrás (a “hőtároló”) hőmérsékletével: a gáz izotermikusan tágul. Hasonlóképpen, a ciklus későbbi szakaszában is izotermikusan kell összehúzódnia, amikor hőt veszít.

A hatásfok kiszámításához végig kell követnünk a motort egy teljes cikluson, megállapítva, hogy mennyi munkát végez, mennyi hőt vesz fel az üzemanyagból, és mennyi hőt ad le a következő ciklusra való felkészülés során. Érdemes megnézni az alkalmazást, hogy ezen a ponton képet kapjunk: a ciklus négy lépésből áll, egy izotermikus tágulás a hőfelvétel során, amelyet egy adiabatikus tágulás követ, majd egy izotermikus összehúzódás a hő leadásakor, végül egy adiabatikus összehúzódás az eredeti konfigurációhoz. Egyszerre egy-egy lépést fogunk megtenni.

1. lépés: izotermikus tágulás

Az első kérdés tehát a következő: Mennyi hőt szolgáltatunk, és mennyi munkát végzünk, amikor a gáz izotermikusan tágul? Ha a hőtároló hőmérsékletét T H-nak vesszük ( H a forró), akkor a táguló gáz a ( P,V ) síkban a PV=nR T H izoterm pályát követi.

A gáz által a ΔV kis térfogattágulás során végzett munka egyszerűen PΔV, a görbe alatti terület (ahogy azt az előző előadáson bizonyítottuk).

Az izotermikus tágulás során V a térfogatról V b-re végzett munka tehát a két érték közötti görbe alatti teljes terület,

izotermikusan végzett munka= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a .

Belső energiája nem változik e tágulás során, így a teljes leadott hőnek nR T H ln V b V a -nak kell lennie, ami megegyezik a gáz által végzett külső munkával.

Valójában ez az izoterm tágulás csak az első lépés:a gáz a hőtároló hőmérsékletén van, melegebb, mint a többi körülötte lévő, és akkor is képes lesz tovább tágulni, ha a hőellátás megszűnik. Annak érdekében, hogy ez a további tágulás is reverzibilis legyen, a gáz nem veszíthet hőt a környezetébe. Vagyis a hőellátás megszakítása után nem történhet további hőcsere a környezettel, a tágulásnak adiabatikusnak kell lennie.

2. lépés: Adiabatikus tágulás

Definíció szerint az adiabatikus tágulás során nem adunk hőt, de munkát végzünk.

A munka, amit a gáz az adiabatikus tágulás során végez, olyan, mintha egy összenyomott rugó tágulna egy erő ellenében – egyenlő azzal a munkával, ami egy ideális (és tökéletesen szigetelt) gáz esetében az első alkalommal a gáz összenyomásához szükséges. Az adiabatikus tágulás tehát megfordítható.

Az adiabatikus tágulásnál a nyomás meredekebben csökken a térfogat növekedésével, mert az izotermikus esettől eltérően a gázba tágulás közben nem jut hőenergia, így a dugattyú által a fokozatos tágulás során elvégezhető munka szükségszerűen kisebb, a nyomásnak kisebbnek kell lennie.

Természetesen Carnot nem így látta, de hasznos, ha a gázra úgy gondolunk, hogy a molekulák körbe-körbe repülnek, és a dugattyúról visszapattanó nyomás hatására. Nézze meg az itt látható appletet, hogy lássa, hogyan csökkenti a nyomást a térfogat tágítása hőenergia hozzáadása nélkül. Izotermikus sűrítés vagy tágítás esetén a pattogó golyó sebessége állandó maradna (az energia a falak termikus rezgéseivel cserélődik ki, miközben visszapattan).

Egy ideális gáz n moljának belső energiája T hőmérsékleten n C V T . Ez (modern képünkön) a molekulák mozgási energiája, és nem függ a gáz által elfoglalt térfogattól.Ezért a belső energia változása adiabatikus táguláskor

W adiabat =n C V ( T c – T b ),

ez tehát a külső nyomással szemben táguló gáz által végzett munka.

3. és 4. lépés: A körfolyamat befejezése

Egyszer már részletesen megvizsgáltuk, hogy milyen munkát végez egy gáz a tágulás során, amikor hőt szolgáltat (izotermikusan) és amikor nincs hőcsere (adiabatikusan). Ez a két kezdeti lépés egy hőmotorban, de a következő ciklushoz szükséges, hogy a motor visszatérjen oda, ahonnan elindult. Az általános elképzelés az, hogy a dugattyú egy kereket hajt (mint az előadás elején lévő ábrán), amely tovább forog, és visszatolja a gázt az eredeti térfogatba.

De az is lényeges, hogy a gáz ezen a visszatérő szakaszon a lehető leghidegebb legyen, mert a keréknek most munkát kell végeznie a gázon, és azt akarjuk, hogy ez a lehető legkevesebb munka legyen – ez megrostál minket. Minél hidegebb a gáz, annál kisebb a kerék által kifejtett nyomás.

Azért, hogy a motor a lehető leghatékonyabb legyen, ennek a visszaútnak a kiindulási ponthoz ( P a , V a ) is megfordíthatónak kell lennie. Nem követhetjük vissza az első két szakaszon megtett utat, ez elvenné a motor által ezeken a szakaszokon elvégzett összes munkát, és nem maradna nettó teljesítményünk. Most a gáz lehűlt az adiabatikus tágulás során b-ről c-re, mondjuk T H-ról T C-re, így a visszafordítható hidegebb T C izoterma mentén visszamehetünk egy bizonyos távolságot. Nyilvánvaló, hogy ezzel nem juthatunk vissza egészen ( P a , V a ), mert az a melegebb T H hőmérsékleten van. Ugyanilyen világos azonban az is, hogy a legjobb megoldás az, ha a lehető leghűvösebbek maradunk a lehető leghosszabb ideig, feltéve, hogy vissza tudunk jutni a kiindulási ponthoz egy reverzibilis úton (különben veszítünk a hatékonyságból). Valójában csak egy lehetőség van:addig maradunk a hideg izotermán, amíg nem találkozunk a kiindulási ponton áthaladó adiabattal, majd a ciklust ezen az adiabaton felfelé haladva fejezzük be (ne feledjük, hogy az adiabátok meredekebbek, mint az izotermák).

A Carnot-ciklus elképzeléséhez a (P, V) síkban emlékezzünk vissza az előző előadásból a két izotermát és két adiabátot ábrázoló grafikonra:

A Carnot-ciklus e görbe négyszög körül zajlik, amelynek oldalai ezt a négy görbét alkotják.

Rajzoljuk ezt újra, kissé kevésbé reálisan, de kényelmesebben:

A Carnot-motor hatásfoka

A Carnot hőmotor egy teljes ciklusában a gáz az abcd útvonalat követi. A fontos kérdés a következő: a forró tározóból (a piros felső izotermák mentén) szállított hőnek, nevezzük Q H -nak, mekkora hányada alakul át mechanikai munkává? Ez a hányad természetesen a motor hatásfoka.

Mivel a gáz belső energiája a ciklus végén ugyanaz, mint a ciklus elején volt – ugyanaz a P és V -, ezért az elvégzett munka egyenlő kell, hogy legyen a nettó leadott hővel,

W= Q H – Q c ,

Q C a hideg izoterma mentén a gáz összenyomásakor leadott hő.

A hatásfok a bemenő hőmennyiségnek az a hányada, amely ténylegesen munkává alakul, tehát

hatásfok = W Q H = Q H – Q C Q H .

Ez a válasz, de nem különösebben hasznos: a hőáram mérése, különösen a hulladékhőé, meglehetősen nehéz. Valójában sokáig azt hitték, hogy a kifelé áramló hőmennyiség megegyezik a befelé áramlóval, és ez eléggé hihetőnek tűnt, mivel a korai motorok hatásfoka nagyon alacsony volt.

De van egy jobb módja is, hogy ezt kifejezzük.

Most az ab kezdeti forró izoterm pálya mentén leadott hő egyenlő az ezen a szakaszon végzett munkával,(a fenti izotermikus tágulásról szóló bekezdésből):

Q H =nR T H ln V b V a

és a cd mentén a hideg tározóba leadott hő

Q C =nR T C ln V c V d .

Q H – Q C bonyolultnak tűnik, de valójában nem az!

A kifejezés jelentősen egyszerűsíthető a ciklus másik két oldalára vonatkozó adiabatikus egyenletek segítségével:

T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .

Ezek közül az első egyenletet elosztva a másodikkal,

( V b V a )=( V c V d )

és ezt felhasználva a Q C előző egyenletében,

Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H .

A Carnot-ciklus esetében tehát a leadott hő és a leadott hő aránya egyszerűen az abszolút hőmérsékletek aránya!

Q H Q C = T H T C , vagy Q H T H = Q C T C .

Ezt jegyezzük meg: fontos lesz az entrópia fogalmának fejlesztésében.

A végzett munka most már egyszerűen leírható:

W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .

A motor hatásfoka tehát, amelyet a bejövő hőenergiának a rendelkezésre álló munkává alakított hányadaként határozunk meg,

hatásfok = W Q H =1- T C T H .

Ezek a hőmérsékletek természetesen Kelvin fokokban vannak megadva, így például egy olyan Carnot-motor hatásfoka, amelynek forró tartályában forró víz és hideg tartályában jéghideg víz van, 1-(273/373)=0,27 lesz ,a hőenergia alig több mint egynegyede alakul át hasznos munkává. Ez ugyanaz a kifejezés, mint amit Carnot talált a vízkerék analógiájából.

A hatékony hőmotor megépítésére tett erőfeszítések után, a “súrlódási” veszteségek kiküszöbölése érdekében megfordíthatóvá téve azt stb., talán kissé kiábrándító, hogy ezt a 27%-os hatásfokot találjuk, amikor 0℃ és 100℃ között működik. Tény, hogy amikor az 1800-as évek elején az első gőzmozdonyokat tervezték, kiderült, hogy a pályán való mozgáshoz szükséges teljesítmény/tömeg arányt csak nagynyomású kazánokkal lehet elérni, azaz néhány atmoszféra (akár tízszeres) nyomáson forró vízzel. 6 atmoszféra nyomáson például a forráshőmérséklet körülbelül 280 ℃, vagy mondjuk 550 K (kelvin), így ez és a szobahőmérséklet (300 K) közötti üzemelés körülbelül 250/550, azaz 45%-os elméleti hatásfokot eredményez, ami nagy előrelépés.

előző index következő PDF