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Michael Fowler
The Ultimate in Fuel Efficiency for a Heat Engine
All standard heat engine (steam, gasoline, diesel) works bysupply heat to gas, the gas then expand in a cylinders and pushing a pistonto do its work. 熱を仕事に変えるのは簡単ですが、それは一回限りのことです。 しかし、熱を仕事に変えるのは一回だけで、エンジンとして成立させるためには、熱を繰り返し利用することが必要です。 さもなければ、ガスが膨張するときに与えた仕事はすべて、それを圧縮して戻すのに使われてしまいます。
この講義での目的は、そのような熱エンジンがどれほど効率的であるかを把握することです：循環プロセスで与えられた量の燃料に対して得られる最大の仕事は何でしょうか？ 理想気体を円筒に封入し、熱を供給したり奪ったりするための外部熱交換器と、気体が機械的仕事をする（必要なら吸収する）ための摩擦のないピストンを備えているのです。
この最も単純な熱機関はカルノーエンジンと呼ばれ、1回の加熱/冷却、膨張/収縮を完全に行い、元の気体の体積と温度に戻すのがカルノーサイクルで、1820年にサディ・カルノーがサイクル中の気体の最大温度と最小温度から、その熱機関の最大可能効率について正しい公式を導き出したため、この名がついた。
カルノの結果は、ガスによって到達した最高高温温度をT H 、サイクル中の最も冷たい温度をT C 、（度ケルビン、むしろ単にケルビン、もちろん）とすると、効率と呼ばれる機械仕事として出てくる入力熱エネルギーの割合は、
Efficiency = T H – T C T Hであるということでした。
これは驚くべき結果で、熱の性質に対する完全な誤解に基づいていたにもかかわらず、正確に正しかったのです!
水車の効率を理解することが熱機関を理解する鍵だった
カルノは、熱は電気と同様に、熱いものから冷たいものへと流れる（そして何らかの形で放射として空間を流れる）液体であると考えていた。
1820年にカルノが蒸気エネルギー効率を計算しようとした理由は何だろうか。 当時は産業革命の時代で、電力供給の効率が利益率を左右していたからです。
大きなエンジンは、主に製粉所と呼ばれる工場で布を大量に生産するために使われました。 1700年代後半まで、これらの工場は流れの速い川のそばにあり、動力源は大きな水車で、工場の長さ方向に伸びる長い回転棒を回していた。 この水車は、工場内に張り巡らされた長い回転棒を回転させ、その棒に取り付けられた滑車から動力を得て、個々の織機を回転させる。 下の写真はずっと後年（1914年）のもので、蒸気駆動ですが、動力方式を示しています。
蒸気機関は、川の近くでなくてもよいという魅力的な代替手段を提供しました。 しかし、水車と違って燃料に石炭や薪を必要とした。
1700年代後半までの工業用動力源は水車だったので、できるだけ効率的にするために多くの検討がなされた。カルノは熱を流体と考えていたので、水車の考え方を蒸気機関の分析に用いたのである。 では、水車をできるだけ効率よく作るにはどうしたらよいのでしょうか。
水は水車によって流されるときに位置エネルギーを失うので、可能な限り大きなエネルギーはmghワット（mは1秒間に流れる水の質量）である。 (これは非常に小さな効果で、カルノーの熱機関分析には当てはまりません）
エネルギーはどのように浪費されるのでしょうか。 当然のことながら、車輪の摩擦はできるだけ少なくする必要がある。 水が飛び散らないように、スムーズな流れでなければならない。
水は、大きな高さを落とすことなく車輪に流入し、車輪から流出しなければならず、そうでなければ仕事を生み出すことなく多くの位置エネルギーを失う。
Aside : A Modern Water Wheel inVirginia
バージニア州にはかなり効率のよい水車があります：約80％の効率です – BathCounty hydroelectric pumped storage stationです。 これは水車で、実際はタービンですが、同じものをよりよく設計したもので、両方向に働きます。 上の湖の水はパイプを通ってタービンと下の湖に落ち、電力を生み出します。 また、電力を供給して水を汲み上げることもできます。 なぜ、そうするのか？ 電力需要は変動するので、ピーク時にしか稼働しない発電所はなるべく作らない方がいいからです。 需要の少ない時に電力を蓄えておく方が賢明です。
落差は約1200フィート（約380メートル）。 流量は1秒間に約1,000トン。 発電量は約3ギガワットで、ノースアナなど2基の原発より大幅に多い。
カルノのアイデア：熱のための「水車」
カルノは、熱は流体であるという信念から、蒸気機関を水車と平行して分析することにした（今でも熱伝導や料理などを考えると、そのように流れるイメージを持っている）。 水車では、水は重力ポテンシャル差によって落下し、そのポテンシャルエネルギーが水車によって仕事に変換される。 電気流体 “は、電位差を失った流体が仕事または熱を生み出すと考えることができる。 では、熱を持った「カロリー流体」（と呼ばれていたもの）はどうでしょう？ 明らかに、重力ポテンシャルに例えると、ちょうど温度です シリンダー内のガスが膨張すると、それは仕事をしますが、その温度は下がります。
カルノは、蒸気機関はこの熱量流体の水車にすぎないと仮定しました。したがって、最も効率のよい機関は摩擦を最小限に抑え、また、水が高さの中間損失なしに水車に静かに出入りするのと同様に、熱は機関内の気体に等温的に入り、離れるでしょう（温度は重力ポテンシャルと同じで、高さがあることに留意しましょう）。 したがって、ghとの類推により、温度T H – T Cの低下は、単位量の「熱流体」が放棄した位置エネルギーを測定します。
最も効率のよい蒸気機関は、最も効率のよい水車（水が水車に入り、水車から出るときにほんの少し下がる）のように、等温熱交換（熱交換における温度差が無視できる）であろう。 もちろん、これは理論的な限界であり、運転にはある程度の落差が必要である。 しかし、重要な点は、完全効率の限界において、エンジンも水車も可逆的であるということだ。仕事を供給されれば、そもそもその仕事を生み出すのに必要なのと同じ量の熱に変えることができる。 カルノは、温度の絶対零度があることを知っていたのです。 したがって、流体を絶対零度まで冷やせば、その熱エネルギーをすべて放棄することになると考えたのである。 では、T HからT Cに冷却して取り出せる最大のエネルギー量は、絶対零度まで冷却した場合の何分の1か？
それは、T H – T C T H !
もちろん熱量流体の絵は正しくないが、この結果は正しい! これは完全なエンジンの最大効率です。そして、このエンジンは可逆的であることを忘れないでください。 この重要な事実をどのように使うかは、後で見てみましょう。
高温の気体から効率的に仕事を得る。 等温流と断熱流
さて、今度は加熱された気体から最大の仕事を得るための詳細を説明しましょう。 ピストンを可逆的に動かすには2つの方法があります。等温流とは、ピストン内の気体の温度とは限りなく異なる温度の貯蔵庫から熱が徐々に出入りする方法、断熱流とは、熱交換がまったくなく、気体がバネのように作用する方法です。
ですから、熱が供給されて気体が膨張しても、気体の温度は熱供給源（「熱溜」）の温度と同じでなければならず、気体は等温的に膨張しているのです。 同様に、サイクルの後半では熱を放出するため、等温的に収縮しなければならない。
効率を把握するためには、エンジンを1サイクル追跡し、どれだけの仕事をし、燃料からどれだけの熱が取り込まれ、次のサイクルの準備のためにどれだけの熱が捨てられたかを調べる必要があります。 熱を吸収すると等温膨張し、次に断熱膨張し、熱を放出すると等温収縮し、最後に断熱収縮して元の形状に戻るという4段階のサイクルがあるのです。 3614>
Step 1: Isothermal Expansion
そこで最初の質問は、気体が等温膨張するとき、どのくらいの熱が供給され、どのくらいの仕事が行われるのか、ということです。 熱源の温度をT H (Hは熱い)とすると、気体は( P,V )平面上でPV=nR T Hという等温経路をたどって膨張します。
気体が小さな体積膨張ΔVで行う仕事は、（前回の講義で証明したように）曲線下の面積PΔVに過ぎない。
したがって、体積V aからV bへの等温膨張で行われる仕事は、それらの値の間の曲線の下の総面積、
work done isothermally= ∫ V a V b PdV= ∫ V a V b nR T H V dV= nR T H ln V b V a …となる。
この膨張の間、内部エネルギーに変化はないので、供給される熱量はnR T H ln V b V a となり、ガスが行った外部作業と同じになる。
実際、この等温膨張は最初のステップでしかない。ガスは熱溜りの温度にあり、他の周囲より高温なので熱供給を止めても膨張は継続することができる。 この膨張が可逆的であるためには、周囲に熱を奪われないようにしなければならない。 つまり、熱供給が遮断された後、周囲との熱交換が行われず、断熱的に膨張することが必要なのです。
ステップ2：断熱膨張
定義によると、断熱膨張では熱は供給されないが、仕事は行われる。
断熱膨張でガスが行う仕事は、力に逆らって膨張する圧縮ばねの仕事のようで、理想（かつ完全断熱）ガスでは、最初の圧縮に必要な仕事と同じである。 つまり、断熱膨張は可逆的なのです。
断熱膨張では、体積が大きくなるにつれて圧力が急降下する。等温の場合とは異なり、膨張するときに気体に熱エネルギーが供給されないので、ピストンが少しずつ拡張するときにできる仕事は少なくなり、圧力は低くならざるを得ないからである。
もちろんカルノはこのようには考えていませんでしたが、気体を分子が飛び回っていて、その圧力がピストンに跳ね返っていると考えるとわかりやすいでしょう。 このアプレットで、熱エネルギーを与えずに体積を膨張させると圧力が下がることを見てみましょう。 等温圧縮と等温膨張では、跳ね返ったボールの速度は一定です（跳ね返ったボールが壁の熱振動とエネルギー交換）。 したがって、断熱膨張における内部エネルギーの変化は
W adiabat =n C V ( T c – T b )、
つまり、これは外部圧力に対して気体が膨張することによって生じる仕事である。
ステップ3と4：サイクルの完成
ここまで、熱が供給されたとき（等温的）と熱交換がないとき（断熱的）に気体が膨張するときの仕事について詳しく見てきました。 これが熱機関の最初の2段階ですが、次のサイクルのために、エンジンは最初の場所に戻る必要があります。 一般的な考え方は、ピストンが車輪を駆動し（この講義の冒頭にある図のように）、車輪が回り続けてガスを元の体積に押し戻すというものです。
しかし、この戻り足ではガスができるだけ冷たいことが不可欠です。 ガスが冷たいほど、車輪が押し付ける圧力は小さくなる。
エンジンをできるだけ効率的にするために、この出発点への戻り経路（P a , V a ）も可逆的でなければならない。 最初の2本の足で行った経路をただたどることはできない。そうすると、その足でエンジンが行った仕事をすべて取ってしまい、正味の出力はゼロになってしまう。 ここで、ガスはbからcへの断熱膨張の間に冷却され、T HからT Cへ、つまり、可逆的により冷たい等温線T Cに沿っていくらか戻ることができます。 もちろん、この方法では、より高温のT Hにある( P a , V a )まで戻ることはできません。 しかし，可逆的な経路でスタート地点に戻ることができれば，できるだけ長くできるだけ低温でいることが最善の方法であることは明らかです（そうでなければ効率が低下します）． それは、元の地点を通過する断熱材に出会うまで、冷たい等温線上に留まり、その後、その断熱材を登ってサイクルを完了することです（断熱材は等温線より急であることを忘れないでください）。
カルノーサイクルを(P,V)平面上で描くには、前回の講義で2つの等温線と2つの断熱板を示したグラフを思い出してください：
カルノーサイクルはこれらの4つのカーブを辺とする曲がった四辺形を回っています。
これを、少し現実的ではないが、より便利に描き直してみよう。
カルノーエンジンの効率
カルノー熱機関の1サイクルで、ガスはabcdの経路をたどる。 ここで重要なことは、高温の貯蔵庫から供給される熱の何割が（赤い上部の等温線に沿って）機械的な仕事に回されるかということで、これをQ Hと呼ぶことにする。 この割合はもちろんエンジンの効率である。
ガスの内部エネルギーはサイクルの終わりでも始まりと同じで、同じPとVに戻るので、行われた仕事は供給された正味の熱に等しいはずで、
W= Q H – Q c 、
Q Cはガスが冷たい等温線に沿って圧縮されて捨てられた熱である。
効率は、実際に仕事に変換された熱入力の割合であり、
効率 = W Q H = Q H – Q C Q H .
これが答えですが、特に有用ではありません。熱の流れ、特に廃熱を測定するのはかなり難しいのです。 実際、長い間、熱流出と熱流入は等しいと信じられており、初期のエンジンの効率が非常に低かったので、これは非常にもっともらしいと思われました。
ここで、最初の熱い等温経路abに沿って供給される熱は、その脚に沿って行われる仕事に等しく、（等温膨張に関する上記の段落から）:
Q H =nR T H ln V b V a
そしてcdに沿って冷たい貯蔵庫に捨てられた熱は
Q C =nR T C ln V c V d …である。
Q H – Q C は複雑に見えますが、実はそうではありません！
式は、サイクルの他の2つの側面に対するadiabaticequationを使用して大幅に簡略化できます：
T H V b γ-1 = T C V c γ-1 T H V a γ-1 = T C V d γ-1 .
これらの式の1つ目を2つ目で割ると、
( V b V a )=( V c V d )
そしてそれを先のQ Cの式に使うと、
Q C =nR T C ln V a V b = T C T H Q H になります。
つまりカルノーサイクルでは、供給される熱と捨てられる熱の比率は、絶対温度の比率だけです！
Q H Q C = T H T C 、または Q H T H = Q C T C 。
これを覚えておいてください：これはエントロピーの概念を発展させる上で重要になります。
これで行われた仕事は簡単に書くことができます：
W= Q H – Q C =( 1- T C T H ) Q H .
したがって、エンジンの効率は、入力される熱エネルギーのうち利用可能な仕事に変換される割合として定義され、
効率 = W Q H =1- T C T H となる。
これらの温度はもちろんケルビン温度であり、例えば高温の熱湯と低温の氷水を貯蔵するカルノー機関の効率は1-(273/373)=0.27となり、熱エネルギーの1/4強が有用な仕事に転換されることになる。 これはカルノが水車に例えて求めた式とまったく同じである。
せっかく効率のよい熱機関を作り、「摩擦」損失をなくすために可逆式にしたのに、0℃から100℃の間で運転したときの効率が27％というのはいささか残念な気もする。 実は、1800年代初頭に初めて蒸気機関車が設計されたとき、線路を走るのに必要な出力／重量比は、高圧ボイラー、つまり数気圧（最大10気圧）の圧力で水を沸騰させることによってのみ達成できることがわかったのである。 例えば6気圧の場合、沸騰温度は約280℃、550K（ケルビン）なので、室温の300Kとの間で動作させると、理論上の効率は約250/550、つまり45％となり、大きく改善されます。
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