Een matrix die gelijkvormig is aan een driehoeksmatrix noemt men driehoeksizeerbaar. Abstract gezien komt dit overeen met het stabiliseren van een vlag: bovendriehoekige matrices zijn precies die matrices die de standaardvlag behouden, die gegeven wordt door de standaard geordende basis ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots,e_{n})}
en de resulterende vlag 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n .
Alle vlaggen zijn geconjugeerd (omdat de algemene lineaire groep transitief werkt op bases), dus elke matrix die een vlag stabiliseert is gelijk aan een matrix die de standaardvlag stabiliseert.
Elke complexe vierkante matrix is driehoekig te maken. In feite is een matrix A over een veld dat alle eigenwaarden van A bevat (bijvoorbeeld elke matrix over een algebraïsch gesloten veld) gelijk aan een driehoekige matrix. Dit kan bewezen worden door gebruik te maken van inductie op het feit dat A een eigenvector heeft, door de quotiëntruimte door de eigenvector te nemen en te inducteren om aan te tonen dat A een vlag stabiliseert, en dus driehoekig is ten opzichte van een basis voor die vlag.
Een preciezere verklaring wordt gegeven door de stelling van de Jordaanse normaalvorm, die stelt dat A in deze situatie gelijkvormig is aan een bovenste driehoekige matrix van een zeer bepaalde vorm. Het eenvoudiger driehoeksresultaat is echter vaak voldoende, en wordt in elk geval gebruikt bij het bewijzen van de stelling van de Jordaanse normale vorm.
In het geval van complexe matrices kan men meer zeggen over driehoeksvorming, namelijk dat elke vierkante matrix A een Schur-decompositie heeft. Dit betekent dat A unitair equivalent (d.w.z. gelijkvormig, met gebruikmaking van een unitaire matrix als verandering van basis) is aan een bovendriehoekige matrix; dit volgt door een Hermitische basis te nemen voor de vlag.
Gelijktijdig driehoekigiseerbaarEdit
Een verzameling matrices A 1 , … , A k {{1},\ldots ,A_{k}}
wordt gelijktijdig driehoekig genoemd als er een basis is waaronder ze allemaal bovendriehoekig zijn; equivalent, als ze bovendriehoekig zijn door een enkele gelijksoortigheidsmatrix P. Een dergelijke verzameling matrices kan gemakkelijker worden begrepen door te kijken naar de algebra van matrices die ze genereert, namelijk alle polynomen in de A i , {{displaystyle A_{i},}
, aangeduid met K . {Displaystyle K.}
Gelijktijdige driehoeksinpasbaarheid betekent dat deze algebra geconjugeerd is in de Lie-subalgebra van de bovenste driehoeksmatrices, en is equivalent aan het feit dat deze algebra een Lie-subalgebra is van een Borel-subalgebra.
Het basisresultaat is dat (over een algebraïsch gesloten veld), de commuterende matrices A , B {A,B}
of meer in het algemeen A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
zijn gelijktijdig driehoekig te maken. Dit kan bewezen worden door eerst aan te tonen dat commuterende matrices een gemeenschappelijke eigenvector hebben, en dan te induceren op dimensie zoals voorheen. Dit werd bewezen door Frobenius, vanaf 1878 voor een paarsgewijs pendelend paar, zoals besproken bij pendelende matrices. Wat een enkele matrix betreft, over de complexe getallen kunnen deze driehoekig gemaakt worden door unitaire matrices.
Het feit dat pendelende matrices een gemeenschappelijke eigenvector hebben kan worden uitgelegd als een gevolg van Hilbert’s Nullstellensatz: pendelende matrices vormen een commutatieve algebra K {\displaystyle K}
over K {\displaystyle K}
die kan worden geïnterpreteerd als een variëteit in de k-dimensionale affiene ruimte, en het bestaan van een (gemeenschappelijke) eigenwaarde (en dus een gemeenschappelijke eigenvector) komt overeen met het feit dat deze variëteit een punt heeft (niet-leeg is), wat de inhoud is van de (zwakke) Nullstellensatz. In algebraïsche termen komen deze operatoren overeen met een algebra representatie van de polynoomalgebra in k variabelen.
Dit wordt veralgemeend door de stelling van Lie, die aantoont dat elke representatie van een oplosbare Lie-algebra tegelijkertijd upper triangularizable is, waarbij het geval van commuterende matrices het geval is van de abelische Lie-algebra, abelisch zijnde a fortiori oplosbaar.
Meer algemeen en precies, een verzameling matrices A 1 , … , A k {{1},\ldots ,A_{k}}
is gelijktijdig driehoekig als en slechts als de matrix p ( A 1 , … , A k ) {{displaystyle p(A_{1},\ldots,A_{k}})}
nilpotent is voor alle veeltermen p in k niet-schakelende variabelen, waarbij {\displaystyle }
de commutator is; voor commuterende A i {\displaystyle A_{i}}
verdwijnt de commutator, zodat dit geldt. Dit is bewezen in (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); een kort bewijs wordt gegeven in (Prasolov 1994, pp. 178-179). Eén richting is duidelijk: als de matrices gelijktijdig driehoekig zijn, dan is {\displaystyle }
strikt upper triangularizable (dus nilpotent), wat behouden blijft door vermenigvuldiging met een willekeurige A k {\displaystyle A_{k}}
of combinatie daarvan – het zal nog steeds 0’s op de diagonaal hebben in de driehoeksvormende basis.