Free Press

Example 1: Bestudeer de onderstaande zinnen.

	Elke driehoek heeft drie zijden.
	Albany is de hoofdstad van de staat New York.
	Geen priemgetal is even.

Elke van deze zinnen is een gesloten zin.

Definitie: Een gesloten zin is een objectieve uitspraak die ofwel waar ofwel onwaar is.

Dus elke gesloten zin in Voorbeeld 1 heeft een waarheidswaarde van ofwel waar ofwel onwaar, zoals hieronder te zien is.

	Elke driehoek heeft drie zijden.	waar
	Albany is de hoofdstad van de staat New York.	waar
	Geen priemgetal is even.	onwaar

Merk op dat de derde zin onwaar is, want 2 is een priemgetal. Het is mogelijk dat een gesloten zin verschillende waarheidswaarden heeft op verschillende tijdstippen. Dit wordt gedemonstreerd in Voorbeeld 2 hieronder.

Voorbeeld 2:

	Vandaag is het dinsdag.
	Bill Clinton was de 42e president van de Verenigde Staten.

Exemplaar 3: Bestudeer de onderstaande zinnen.

	x + 3 = 7
	Ze is geslaagd voor wiskunde.
	y – 4 = 11
	Hij is mijn broer.

De zinnen in voorbeeld 3 zijn open zinnen.

Definitie: Een open zin is een uitspraak die een variabele bevat en waar of onwaar wordt, afhankelijk van de waarde die de variabele vervangt.

Laten we Voorbeeld 3 nog eens bekijken. Deze keer zullen we de variabele voor elke open zin identificeren.

	x + 3 = 7	De variabele is x.
	Zij is geslaagd voor wiskunde.	De variabele is zij.
	y – 4 = 11	De variabele is y.
	Hij is mijn broer.	De variabele is hij.

Nu we de variabelen hebben geïdentificeerd, kunnen we de betekenis van deze open zinnen analyseren. Zin 1 is waar als x wordt vervangen door 4, maar onwaar als x wordt vervangen door een ander getal dan 4. Zin 3 is waar als y wordt vervangen door 15, maar anders onwaar. Zin 2 is waar of onwaar afhankelijk van de waarde van de variabele “zij”. Op dezelfde manier is zin 4 waar of onwaar, afhankelijk van de waarde van de variabele “hij”. Samengevat hangt de waarheidswaarde van elke open zin af van welke waarde wordt gebruikt om de variabele in die zin te vervangen.

Voorbeeld 4:

Gegeven:	Laat p voorstellen: “Honkbal is een sport.”
	Laat q staan voor: “Er zitten 100 centen in een dollar.”
	Laat r staan voor: “Ze doet haar huiswerk.”
	Laat s staan voor: “Een dubbeltje is geen muntstuk.”Een dubbeltje is geen muntstuk.”
Probleem:	Schrijf elke onderstaande zin met behulp van symbolen en geef aan of hij waar, onwaar of open is.

Voorbeeld 5:

Gegeven:	Laat p staan voor de gesloten zin “Het getal 9 is oneven.”
Probleem:	Wat betekent ~p?

In Voorbeeld 5 wordt ons gevraagd de negatie van p te vinden.

Definitie: De negatie van uitspraak p is “niet p.” De negatie van p wordt gesymboliseerd door “~p.” De waarheidswaarde van ~p is het tegengestelde van de waarheidswaarde van p.

Oplossing: Omdat p waar is, moet ~p onwaar zijn.

p:	Het getal 9 is oneven.	waar
~p:	Het getal 9 is niet oneven.	valse

Laten we nog een paar voorbeelden van negatie bekijken.

Voorbeeld 6:

r:	7 < 5	false
~r:	7 5	waar

Voorbeeld 7:

a:	Het product van twee negatieve getallen is een positief getal.	waar
~a:	Het product van twee negatieve getallen is geen positief getal.	false

We kunnen een waarheidstabel construeren om alle mogelijke waarheidswaarden van een uitspraak en zijn negatie te bepalen.

Definitie: Een waarheidstabel helpt ons alle mogelijke waarheidswaarden van een uitspraak te vinden. Elke uitspraak is of Waar (T) of Onwaar (F), maar niet beide.

Verbinding: Om ons te helpen deze definitie te onthouden, denk aan een computer, die óf aan óf uit is, maar niet beide.

Voorbeeld 8: Construeer een waarheidstabel voor de negatie van x.

Oplossing:

x	~x
T	F
F	T

In voorbeeld 8 geldt: als x waar is, is ~x onwaar; en als x onwaar is, is ~x waar. Uit deze waarheidstabel kunnen we zien dat een uitspraak en zijn negatie tegengestelde waarheidswaarden hebben.

Voorbeeld 9: Construeer een waarheidstabel voor de negatie van p.

Oplossing:

p	~p
T	F
F	T

We kunnen ook een negatie ontkennen. Bijvoorbeeld, de negatie van ~p is ~(~p) of p. Dit wordt geïllustreerd in onderstaand voorbeeld.

Voorbeeld 10: Construeer een waarheidstabel voor de negatie van p, en voor de negatie van niet p.

Oplossing:

p	~p	~(~p)
T	F	T
F	T	F

Samenvatting: Een stelling is een zin die waar of onwaar is. Een gesloten zin is een objectieve uitspraak die ofwel waar ofwel onwaar is. Een open zin is een uitspraak die een variabele bevat en die waar of onwaar wordt, afhankelijk van de waarde die de variabele vervangt. De negatie van uitspraak p is “niet p”, gesymboliseerd door “~p”. Een uitspraak en zijn negatie hebben tegengestelde waarheidswaarden.

Oefeningen

Richtlijnen: Lees elke vraag hieronder. Selecteer je antwoord door op de bijbehorende knop te klikken. Feedback op uw antwoord wordt gegeven in het RESULTATENVAK. Als u een fout maakt, kies dan een andere knop.

	Welke van de volgende zinnen is een gesloten zin?

	Wat is de ontkenning van, “Jenny rijdt met de bus”?

	Welke van de volgende is de negatie van x?

	Gegeven: a: Een driehoek is geen veelhoek. b: Een vierkant is een rechthoek. Probleem: Welke van de volgende is de negatie van “Een driehoek is geen veelhoek”?

	Welke van de volgende is een open zin?