Op het eerste gezicht zou je kunnen denken dat oneindig gedeeld door oneindig gelijk is aan één. Immers, elk getal gedeeld door zichzelf is gelijk aan één, maar oneindig is geen reëel of rationeel getal. Ik ga bewijzen wat oneindig gedeeld door oneindig werkelijk is, en het antwoord zal u misschien niet bevallen.
Eerst ga ik dit axioma (aanname) definiëren dat oneindig gedeeld door oneindig gelijk is aan één:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Omdat ∞ = ∞ + ∞, gaan we de eerste oneindigheid in ons axioma substitueren:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
De volgende stap is het splitsen van deze breuk in twee breuken:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Volgende, het axioma tweemaal substitueren in de vergelijking, krijgen we:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Finitief kan dit herschreven worden als:
| 2 | = 1 |
|---|
Deze vergelijking is duidelijk onjuist. Daarom is oneindig gedeeld door oneindig NIET gelijk aan één. In plaats daarvan kunnen we elk reëel getal gelijk aan één krijgen als we aannemen dat oneindig gedeeld door oneindig gelijk is aan één, dus oneindig gedeeld door oneindig is ongedefinieerd.
Als u me nog steeds niet gelooft, laten we dan proberen dit op een andere manier te bewijzen. Laten we opnieuw beginnen met ons axioma.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Nu splitsen we deze breuk in twee delen.
| ∞ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Solliciteer de breuk van 1 gedeeld door ∞. Op het eerste gezicht zou je denken dat 1 gedeeld door ∞ gelijk is aan 0, maar dat is niet juist want dat zou betekenen dat 0 maal ∞ gelijk is aan 1. En dat is hier bewezen niet waar. Echter, 1 gedeeld door ∞ is wel gelijk aan een limiet die 0 benadert. Met andere woorden, 1 gedeeld door ∞ is niet gelijk aan een getal of is onbepaald.
| ∞ * | ongedefinieerd | = 1 |
|---|
Hiermee zijn we op een dood punt aangeland. Daarom is oneindig gedeeld door oneindig nog steeds niet gedefinieerd.
door Phil for Humanity
op 01/07/2007