Kiedy myślisz o wektorze, wielu ludzi prawdopodobnie przywołuje definicję Wektora (z filmu Despicable Me). Mówi on:
To termin matematyczny. Wielkość reprezentowana przez strzałkę z kierunkiem i wielkością. Wektor! To ja – bo popełniam przestępstwa zarówno z kierunkiem, jak i wielkością! O tak!
Ok, ale tak naprawdę. Co to jest wektor? Podoba mi się następująca definicja (i jest to definicja, którą podaję studentom na zajęciach).
Wektor: wielkość posiadająca więcej niż jeden element (więcej niż jedną informację).
Nie jest to najlepsza definicja, ale jest lepsza niż „wielkość i kierunek”. Być może najlepszym sposobem na zrozumienie wektorów jest spojrzenie na kilka przykładów. Załóżmy, że jestem w pokoju i przemieszczam się w różne miejsca, aby zmierzyć temperaturę. Temperatura w danym miejscu ma tylko jeden element (np. 22° C). Ponieważ temperatura ma tylko jeden element informacji, nazywamy ją skalarem. Innymi przykładami skalarów byłyby: masa, ładunek elektryczny, moc, różnica potencjałów elektrycznych.
Załóżmy teraz, że przechodzę do różnych punktów w pokoju, aby określić przepływ powietrza. W każdym z tych miejsc powietrze może poruszać się w trzech różnych kierunkach (x,y,z). Tak więc, aby naprawdę zmierzyć prędkość powietrza w każdym miejscu potrzebowałbym 3 elementów. Nazywamy tę prędkość powietrza wektorem (wektorem trójwymiarowym), ponieważ zawiera trzy elementy informacji. Innymi przykładami wektorów byłyby: siły, pola elektryczne, przyspieszenie, przemieszczenie.
Czy można mieć wektory o więcej lub mniej niż 3 elementach? Tak. We wstępnych kursach fizyki często patrzy się na wektory tylko w dwóch wymiarach (x i y), aby uprościć sprawę. Można też mieć 4 lub 5, a nawet więcej wymiarów wektorów. Jedynym problemem z wektorami wyższego rzędu jest to, że trudniej jest je wizualizować w przestrzeni trójwymiarowej.
Wektor zerowy
Tutaj jest prawdziwy problem z „wielkością i kierunkiem” definicji wektora – wektor zerowy. Załóżmy, że chcesz reprezentować przemieszczenie w dwóch wymiarach. Jeśli zaczniesz od początku i przesuniesz się o 3 metry w kierunku x i -2 w kierunku y, możesz to zapisać jako:
Jeśli chcesz, możesz znaleźć wielkość tego przemieszczenia wektorowego o wartości 3,61 metra. Mógłbyś również znaleźć „kierunek” tego wektora i powiedzieć, że jest on 33,7° poniżej osi x. Ale co by było, gdybyś chciał przedstawić przesunięcie, które nigdzie się nie udaje? Mógłbym to łatwo zapisać jako następujący wektor:
Czy mogę znaleźć wielkość tego wektora? Tak, bardzo łatwo zauważyć, że wektor ma wielkość równą zero metrów. A co z kierunkiem? Cóż, jeśli przemieszczenie nigdzie się nie odbyło, nie można powiedzieć, w którym kierunku się odbyło. Najlepszą odpowiedzią jest stwierdzenie, że kierunek jest nieokreślony. Tak więc mamy tu przypadek przemieszczenia o zerowej wielkości i nieokreślonym kierunku. Czy jest to wektor? Absolutnie. Czy jestem po prostu wybredny w kwestii definicji wektora? Prawdopodobnie.
Wektor zerowy w fizyce rzeczywistej
Wektor zerowy nie jest zerem. Żeby było jasne, mogę napisać następujące dwa równania:
To są różne wielkości. Nie można ustawić wielkości wektorowej jako równej wielkości skalarnej. Po prostu nie da się tego zrobić. Jednak to się zdarza. To równanie było w bardzo niedawnym wstępnym tekście z fizyki. To jest dokładnie to, jak równanie było wyświetlane w tekście.
Podręcznik próbował pokazać ideę obiektu w równowadze. W równowadze, całkowita siła działająca na obiekt jest wektorem zerowym. Jednak to równanie mówi, że całkowita suma sił wektorowych jest równa zeru (skalarowi). Aha, może oni używają 0 do reprezentowania wektora zerowego? Byłoby to wiarygodne wyjaśnienie, gdyby nie używali strzałek do reprezentowania innych wektorów. Nie, wektor zerowy jest nadal wektorem. Najlepszym sposobem na przedstawienie tego równania byłoby:
W tej wersji istnieje wektor równy wektorowi. Tak jest lepiej.
Na koniec dwie uwagi. Po pierwsze, mówiłem już wcześniej o wektorach. Jednym z moich ulubionych postów jest ta odpowiedź dla Khan Academy o wektorach. Zasadniczo jest to druga część dyskusji o rozwiązywaniu problemów kinematycznych, w której twierdzę, że nadal można używać wektorów, nawet jeśli jest to problem jednowymiarowy. Po drugie, jeśli chcesz ustawić wektory równe wektorowi zerowemu, upewnij się, że nazywasz go wektorem zerowym, a nie po prostu „zero”.