Free Press

Exempel 1: Undersök meningarna nedan.

	Alla trianglar har tre sidor.
	Albany är huvudstad i delstaten New York.
	Inget primtal är jämnt.

Varje av dessa meningar är en sluten mening.

Definition: En sluten mening är ett objektivt påstående som antingen är sant eller falskt.

Därmed har varje sluten mening i exempel 1 ett sanningsvärde som antingen är sant eller falskt, vilket visas nedan.

	Varje triangel har tre sidor.	sann
	Albany är huvudstad i delstaten New York.	sann
	Inget primtal är jämnt.	falskt

Bemärk att den tredje satsen är falsk eftersom 2 är ett primtal. Det är möjligt att en sluten mening har olika sanningsvärden vid olika tidpunkter. Detta visas i exempel 2 nedan.

Exempel 2:

	I dag är det tisdag.
	Bill Clinton var USA:s 42:a president.

Exempel 3: Undersök meningarna nedan.

	x + 3 = 7
	Hon klarade matematik.
	y – 4 = 11
	Han är min bror.

Satserna i exempel 3 är öppna meningar.

Definition: En öppen mening är ett påstående som innehåller en variabel och som blir antingen sant eller falskt beroende på det värde som ersätter variabeln.

Låt oss ta en ny titt på exempel 3. Den här gången ska vi identifiera variabeln för varje öppen mening.

	x + 3 = 7	Variabeln är x.
	Hon klarade matte.	Variabeln är hon.
	y – 4 = 11	Variabeln är y.
	Han är min bror.	Variabeln är han.

När vi nu har identifierat variablerna kan vi analysera innebörden i dessa öppna meningar. Sats 1 är sann om x ersätts med 4, men falsk om x ersätts med ett annat tal än 4. Sats 3 är sann om y ersätts med 15, men falsk annars. Sats 2 är antingen sann eller falsk beroende på värdet av variabeln ”hon”. På samma sätt är mening 4 antingen sann eller falsk beroende på värdet av variabeln ”han”. Sammanfattningsvis beror sanningsvärdet för varje öppen mening på vilket värde som används för att ersätta variabeln i den meningen.

Exempel 4:

Givet:	Låt p representera, ”Baseball är en sport.”
	Låt q representera: ”Det finns 100 cent i en dollar.”
	Låt r representera: ”Hon gör sina läxor.”
	Låt s representera: ”En dime är inte ett mynt.”
Problem:	Skriv varje mening nedan med hjälp av symboler och ange om den är sann, falsk eller öppen.

Exempel 5:

Givna:	Låt p representera den slutna meningen ”Talet 9 är udda.”
Problem:	Vad betyder ~p?

I exempel 5 ombeds vi att hitta negationen av p.

Definition: Definition: Negationen av påståendet p är ”inte p”. Negationen av p symboliseras med ”~p”. Sanningsvärdet för ~p är motsatsen till sanningsvärdet för p.

Lösning: Eftersom p är sant måste ~p vara falskt.

p:	Talet 9 är udda.	sann
~p:	Talet 9 är inte udda.	falskt

Låt oss titta på några fler exempel på negation.

Exempel 6:

r:	7 < 5	falskt
~r:	7 5	sann

Exempel 7:

a:	Produkten av två negativa tal är ett positivt tal.	sann
~a:	Produkten av två negativa tal är inte ett positivt tal.	falskt

Vi kan konstruera en sanningstabell för att bestämma alla möjliga sanningsvärden för ett påstående och dess negation.

Definition: En sanningstabell hjälper oss att hitta alla möjliga sanningsvärden för ett påstående. Varje påstående är antingen sant (T) eller falskt (F), men inte både och.

Samband:

Exempel 8: Konstruera en sanningstabell för negationen av x.

Lösning:

x	~x
T	F
F	T

I exempel 8 är ~x falskt när x är sant och ~x är sant när x är falskt. Från denna sanningstabell kan vi se att ett påstående och dess negation har motsatta sanningsvärden.

Exempel 9: Konstruera en sanningstabell för negationen av p.

Lösning:

p	~p
T	F
F	T

Vi kan också negera en negation. Negationen av ~p är till exempel ~(~p) eller p. Detta illustreras i exemplet nedan.

Exempel 10: Konstruera en sanningstabell för negationen av p och för negationen av inte p.

Lösning:

p	~p	~(~p)
T	F	T
F	T	F

Sammanfattning: Ett påstående är en mening som antingen är sann eller falsk. En sluten mening är ett objektivt påstående som är antingen sant eller falskt. En öppen mening är ett påstående som innehåller en variabel och som blir antingen sant eller falskt beroende på det värde som ersätter variabeln. Negationen av påståendet p är ”inte p”, symboliserat med ”~p”. Ett påstående och dess negation har motsatta sanningsvärden.

Övningar

Anvisningar: Läs varje fråga nedan. Välj ditt svar genom att klicka på dess knapp. Återkoppling till ditt svar ges i RESULTATBOXEN. Om du gör ett misstag väljer du en annan knapp.

	Vilken av följande är en sluten mening?

	Vad är negationen av, ”Jenny åker buss”?

	Vilket av följande är negationen av x?

	Givet: a: En triangel är inte en polygon. b: En kvadrat är en rektangel. Problem: Vilket av följande är negationen av ”En triangel är inte en polygon”?

		Vilket av följande är en öppen mening?