Till en början kanske du tror att oändligheten dividerad med oändligheten är lika med ett. När allt kommer omkring är varje tal dividerat med sig självt lika med ett, men oändligheten är inte ett verkligt eller rationellt tal. Jag ska bevisa vad oändlighet dividerat med oändlighet verkligen är lika med, och du kanske inte gillar svaret.
Först ska jag definiera detta axiom (antagande) att oändlighet dividerat med oändlighet är lika med ett:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Då ∞ = ∞ + ∞, så ska vi ersätta den första oändligheten i vårt axiom:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Nästa steg är att dela upp detta bråk i två bråk:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Nästan, substituera axiomet två gånger i ekvationen, vi får:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Slutligt kan detta skrivas om till:
| 2 | = 1 |
|---|
Denna ekvation är uppenbart felaktig. Därför är oändligheten dividerad med oändligheten INTE lika med ett. Istället kan vi få vilket verkligt tal som helst att vara lika med ett när vi antar att oändlighet dividerat med oändlighet är lika med ett, så oändlighet dividerat med oändlighet är odefinierat.
Om du fortfarande inte tror mig kan vi försöka bevisa detta på ett annat sätt. Låt oss börja med vårt axiom igen.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Nästan, dela upp detta bråk i två delar.
| ∞ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Lös bråket 1 delat med ∞. Först skulle man tro att 1 dividerat med ∞ är lika med 0, men det stämmer inte eftersom det skulle innebära att 0 gånger ∞ skulle vara lika med 1. Och det är bevisligen inte sant här. Däremot är 1 dividerat med ∞ lika med en gräns som närmar sig 0. Med andra ord är 1 dividerat med ∞ inte lika med ett tal eller är odefinierat.
| ∞E↩ * | undefinierad | = 1 |
|---|
Som ett resultat har vi nått en återvändsgränd. Därför är oändligheten dividerad med oändligheten fortfarande odefinierad.
av Phil for Humanity
den 01/07/2007