Logaritmická stupnice informuje o relativních změnách (multiplikativní), zatímco lineární stupnice informuje o absolutních změnách (aditivní). Kdy použijete každé z nich? Když vás zajímají relativní změny, použijte logaritmické měřítko; když vás zajímají absolutní změny, použijte lineární měřítko. To platí pro rozdělení, ale také pro jakoukoli veličinu nebo změny veličin.
Všimněte si, že slovo „starat se“ zde používám zcela konkrétně a záměrně. Bez modelu nebo cíle nelze na vaši otázku odpovědět; model nebo cíl určuje, které měřítko je důležité. Pokud se snažíte něco modelovat a mechanismus působí prostřednictvím relativní změny, je logaritmické měřítko rozhodující pro zachycení chování pozorovaného ve vašich datech. Pokud je však základní mechanismus modelu aditivní, budete chtít použít lineární měřítko.
Příklad. Akciový trh.
Akcie A v den 1: $\$$100. V den 2: $\$101. Každá služba pro sledování akcií na světě hlásí tuto změnu dvěma způsoby! (1) +$\$$1. (2) +1%. První je mírou absolutní, aditivní změny; druhá mírou relativní změny.
Ilustrace relativní změny oproti absolutní:
Akcie A získala 10 %, akcie B získala 10 % (relativní měřítko, stejné)
….ale akcie A získala 10 centů, zatímco akcie B získala $$$$10 (B získala více absolutní částky v dolarech)
Převedeme-li do logaritmického prostoru, relativní změny se jeví jako absolutní změny.
Akcie A se změní z $\log_{10}(\$1)$ na $\log_{10}(\$1,10)$ = 0 na .0413
Akcie B se změní z $\log_{10}(\$100)$ na $\log_{10}(\$110)$ = 2 na 2.0413
Vezmeme-li nyní absolutní rozdíl v logaritmickém prostoru, zjistíme, že se obě změnily o 0,0413.
Obě tyto míry změny jsou důležité a to, která z nich je pro vás důležitá, závisí pouze na vašem modelu investování. Existují dva modely. (1) Investování s pevnou částkou jistiny nebo (2) investování do pevného počtu akcií.
Model 1: Investování s pevnou částkou jistiny.
Řekněme, že akcie A stála včera 1 USD za akcii a akcie B stála 100 USD za akcii. Dnes obě vzrostly o jeden dolar na 2 $$$ a 101 $$$. Jejich absolutní změna je stejná ($$$$1), ale jejich relativní změna je dramaticky odlišná (100% u akcie A, 1% u akcie B). Vzhledem k tomu, že máte pevnou částku jistiny, kterou můžete investovat, řekněme $$$$100, můžete si dovolit pouze 1 akcii B nebo 100 akcií A. Kdybyste investovali včera, měli byste $$$200 u A nebo $$$101 u B. Zde vás tedy „zajímají“ relativní zisky, a to právě proto, že máte konečnou částku jistiny.
Model 2: pevný počet akcií.
Předpokládejme, že vaše banka vám umožňuje nakupovat pouze v blocích po 100 akciích a vy jste se rozhodli investovat do 100 akcií A nebo B. V předchozím případě, ať už koupíte A nebo B, budou vaše zisky stejné ($$$100 – tj. 1 USD za každou akcii).
Předpokládejme nyní, že hodnotu akcie považujeme za náhodnou veličinu, která v čase kolísá, a chceme vymyslet model, který by obecně odrážel, jak se akcie chovají. A řekněme, že tento model chceme použít k maximalizaci zisku. Vypočítáme pravděpodobnostní rozdělení, jehož hodnoty x jsou v jednotkách „cena akcie“ a hodnoty y v pravděpodobnosti pozorování dané ceny akcie. Toto provedeme pro akcii A a pro akcii B. Pokud se přihlásíte k prvnímu scénáři, kdy máte pevně stanovenou částku jistiny, kterou chcete investovat, pak bude informativní vzít logaritmus těchto rozdělení. Proč? To, co vás zajímá, je tvar rozdělení v relativním prostoru. Nezáleží vám na tom, zda se akcie pohybuje od 1 do 10, nebo od 10 do 100, že? V obou případech se jedná o desetinásobný relativní přírůstek. To se přirozeně projevuje v logaritmickém rozdělení tím, že jednotkové přírůstky přímo odpovídají násobným přírůstkům. Pro dvě akcie, jejichž střední hodnota je různá, ale jejichž relativní změna je shodně rozložená (mají stejné rozdělení denních procentních změn), budou mít jejich logaritmická rozdělení shodný tvar, jen posunutý. Naopak jejich lineární rozdělení nebudou mít totožný tvar, přičemž rozdělení s vyšší hodnotou bude mít větší rozptyl.
Pokud byste se na stejná rozdělení podívali v lineárním, resp. absolutním prostoru, mysleli byste si, že cenám akcií s vyšší hodnotou odpovídají větší výkyvy. Pro vaše účely investování, kde záleží pouze na relativních ziscích, to však nemusí být nutně pravda.
Příklad 2. Jaký je váš názor? Chemické reakce: Předpokládejme, že máme dvě molekuly A a B, které procházejí vratnou reakcí.
$A\Pravá šipka B$
která je definována jednotlivými rychlostními konstantami
($k_{ab}$) $A\Pravá šipka B$($k_{ba}$) $B\Pravá šipka A$
Její rovnováha je definována vztahem:
$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Dva body. (1) Jedná se o multiplikativní vztah mezi koncentracemi $A$ a $B$. (2) Tento vztah není libovolný, ale vyplývá přímo ze základních fyzikálně-chemických vlastností, jimiž se řídí molekuly, které na sebe narážejí a reagují.
Nyní předpokládejme, že máme nějaké rozdělení koncentrací A nebo B. To znamená, že se jedná o rozdělení koncentrací. Vhodné měřítko tohoto rozdělení je v logaritmickém prostoru, protože model toho, jak se mění jedna nebo druhá koncentrace, je definován multiplikativně (součin koncentrace A s inverzní koncentrací B). V nějakém alternativním vesmíru, kde $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, bychom se na toto rozdělení koncentrace mohli dívat v absolutním, lineárním prostoru.
To znamená, že pokud máte model, ať už pro předpověď burzy nebo chemickou kinetiku, můžete vždy „beze ztrát“ přecházet mezi lineárním a logaritmickým prostorem, pokud je rozsah hodnot $(0,\inf)$. Zda se rozhodnete pro lineární nebo logaritmické rozdělení, závisí na tom, co se snažíte z dat získat.
EDIT. Zajímavou paralelou, která mi pomohla vybudovat si intuici, je příklad aritmetických a geometrických průměrů. Aritmetický (vanilkový) průměr počítá průměr čísel za předpokladu skrytého modelu, kde záleží na absolutních rozdílech. Příklad. Aritmetický průměr 1 a 100 je 50,5. Předpokládejme však, že mluvíme o koncentracích, kde je chemický vztah mezi koncentracemi multiplikativní. Pak by se průměrná koncentrace měla skutečně počítat na logaritmické stupnici. Tomu se říká geometrický průměr. Geometrický průměr 1 a 100 je 10! Z hlediska relativních rozdílů to dává smysl: 10/1 = 10 a 100/10 = 10, tj. relativní změna mezi průměrem a dvěma hodnotami je stejná. Aditivně zjistíme totéž: 50,5-1 = 49,5 a 100-50,5 = 49,5.
.