L’échelle logarithmique informe sur les changements relatifs (multiplicatifs), tandis que l’échelle linéaire informe sur les changements absolus (additifs). Quand utilisez-vous l’une et l’autre ? Lorsque vous vous intéressez aux changements relatifs, utilisez l’échelle logarithmique ; lorsque vous vous intéressez aux changements absolus, utilisez l’échelle linéaire. Ceci est vrai pour les distributions, mais aussi pour toute quantité ou changement de quantité.
Notez, j’utilise le mot « care » ici très spécifiquement et intentionnellement. Sans modèle ou objectif, il est impossible de répondre à votre question ; le modèle ou l’objectif définit quelle échelle est importante. Si vous essayez de modéliser quelque chose et que le mécanisme agit via un changement relatif, l’échelle logarithmique est essentielle pour capturer le comportement observé dans vos données. Mais si le mécanisme du modèle sous-jacent est additif, vous voudrez utiliser l’échelle linéaire.
Exemple. Marché boursier.
L’action A au jour 1 : $\$$100. Le deuxième jour, 101$. Tous les services de suivi des actions dans le monde rapportent ce changement de deux façons ! (1) +$\$$1. (2) +1%. La première est une mesure du changement absolu, additif ; la seconde une mesure du changement relatif.
Illustration du changement relatif par rapport à l’absolu : Le changement relatif est le même, le changement absolu est différent
L’action A passe de $\$1 à $\$1,10.L’action B passe de $\$100 à $\$110.
L’action A a gagné 10%, l’action B a gagné 10% (échelle relative, égale)
….mais l’action A a gagné 10 cents, tandis que l’action B a gagné $\$$10 (B a gagné plus de montant absolu en dollars)
Si nous convertissons en espace logarithmique, les changements relatifs apparaissent comme des changements absolus.
L’action A passe de $\log_{10}(\$1)$ à $\log_{10}(\$1,10)$ = 0 à ,0413
L’action B passe de $\log_{10}(\$100)$ à $\log_{10}(\$110)$ = 2 à 2.0413
Maintenant, en prenant la différence absolue dans l’espace logarithmique, nous trouvons que les deux ont changé de 0,0413.
Ces deux mesures de changement sont importantes, et celle qui est importante pour vous dépend uniquement de votre modèle d’investissement. Il existe deux modèles. (1) Investir un montant fixe de capital, ou (2) investir dans un nombre fixe d’actions.
Modèle 1 : Investir avec un montant fixe de capital.
Disons qu’hier l’action A coûtait 1 $ par action, et l’action B 100 $ par action. Aujourd’hui, elles ont toutes deux augmenté d’un dollar pour atteindre respectivement 2 $ et 101 $. Leur variation absolue est identique (1 $), mais leur variation relative est très différente (100 % pour A, 1 % pour B). Étant donné que vous avez un montant fixe de capital à investir, disons $\$$100, vous ne pouvez vous permettre qu’une action de B ou 100 actions de A. Si vous avez investi hier, vous auriez $\$$200 avec A, ou $\$$101 avec B. Donc ici, vous vous « souciez » des gains relatifs, spécifiquement parce que vous avez un montant fini de capital.
Modèle 2 : nombre fixe d’actions.
Dans un autre scénario, supposons que votre banque ne vous laisse acheter que des blocs de 100 actions, et que vous avez décidé d’investir dans 100 actions de A ou de B. Dans le cas précédent, que vous achetiez A ou B, vos gains seront les mêmes ($\$$100 – c’est-à-dire 1 $ pour chaque action).
Maintenant, supposons que nous considérons la valeur d’une action comme une variable aléatoire fluctuant dans le temps, et que nous voulons proposer un modèle qui reflète généralement le comportement des actions. Et disons que nous voulons utiliser ce modèle pour maximiser le profit. Nous calculons une distribution de probabilité dont les valeurs x sont exprimées en unités de « prix de l’action » et les valeurs y en probabilité d’observer un prix d’action donné. Nous procédons ainsi pour l’action A et l’action B. Si vous souscrivez au premier scénario, dans lequel vous disposez d’un montant fixe de capital à investir, le logarithme de ces distributions sera instructif. Pourquoi ? Ce qui vous intéresse, c’est la forme de la distribution dans l’espace relatif. Qu’une action passe de 1 à 10 ou de 10 à 100 n’a pas d’importance pour vous, n’est-ce pas ? Les deux cas représentent un gain relatif de 10 fois. Cela apparaît naturellement dans une distribution en échelle logarithmique, dans la mesure où les gains unitaires correspondent directement aux gains en plis. Pour deux actions dont la valeur moyenne est différente mais dont la variation relative est distribuée de manière identique (elles ont la même distribution des variations quotidiennes en pourcentage), leurs distributions logarithmiques auront une forme identique, juste décalée. À l’inverse, leurs distributions linéaires n’auront pas une forme identique, la distribution la plus valorisée ayant une variance plus élevée.
Si vous regardiez ces mêmes distributions en espace linéaire, ou absolu, vous penseriez que les cours des actions les plus valorisées correspondent à des fluctuations plus importantes. Pour vos besoins d’investissement cependant, où seuls les gains relatifs comptent, ce n’est pas nécessairement vrai.
Exemple 2. Réactions chimiques.Supposons que nous ayons deux molécules A et B qui subissent une réaction réversible.
$A\Leftrightarrow B$
qui est définie par les constantes de vitesse individuelles
($k_{ab}$) $A\Rightarrow B$($k_{ba}$) $B\Rightarrow A$
Leur équilibre est défini par la relation :
$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Deux points ici. (1) Il s’agit d’une relation multiplicative entre les concentrations de $A$ et $B$. (2) Cette relation n’est pas arbitraire, mais découle directement des propriétés physico-chimiques fondamentales qui régissent les molécules qui se heurtent les unes aux autres et réagissent.
Supposons maintenant que nous ayons une certaine distribution de la concentration de A ou B. L’échelle appropriée de cette distribution est dans l’espace logarithmique, parce que le modèle de la façon dont l’une ou l’autre concentration change est défini de façon multiplicative (le produit de la concentration de A avec l’inverse de la concentration de B). Dans un univers alternatif où $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, nous pourrions regarder cette distribution de concentration dans un espace absolu, linéaire.
Cela dit, si vous avez un modèle, que ce soit pour la prédiction boursière ou la cinétique chimique, vous pouvez toujours interconvertir » sans perte » entre l’espace linéaire et l’espace logarithmique, tant que votre plage de valeurs est $(0,\inf)$. Que vous choisissiez de regarder la distribution linéaire ou à échelle logarithmique dépend de ce que vous essayez d’obtenir des données.
EDIT. Un parallèle intéressant qui m’a aidé à construire l’intuition est l’exemple des moyennes arithmétiques par rapport aux moyennes géométriques. Une moyenne arithmétique (vanille) calcule la moyenne des nombres en supposant un modèle caché où les différences absolues sont ce qui importe. Exemple. La moyenne arithmétique de 1 et 100 est de 50,5. Supposons toutefois que nous parlions de concentrations, où la relation chimique entre les concentrations est multiplicative. Dans ce cas, la concentration moyenne doit être calculée sur l’échelle logarithmique. C’est ce qu’on appelle la moyenne géométrique. La moyenne géométrique de 1 et 100 est de 10 ! En termes de différences relatives, cela a du sens : 10/1 = 10, et 100/10 = 10, c’est-à-dire que la variation relative entre la moyenne et les deux valeurs est la même. Additionnellement, nous trouvons la même chose ; 50,5-1= 49,5, et 100-50,5 = 49,5.