Scala log informează asupra schimbărilor relative (multiplicative), în timp ce scala liniară informează asupra schimbărilor absolute (aditive). Când folosiți fiecare dintre ele? Când vă interesează schimbările relative, folosiți scala logaritmică; când vă interesează schimbările absolute, folosiți scala liniară. Acest lucru este valabil pentru distribuții, dar și pentru orice cantitate sau schimbări în cantități.
Rețineți, folosesc cuvântul „grijă” aici în mod foarte specific și intenționat. Fără un model sau un obiectiv, nu se poate răspunde la întrebarea dumneavoastră; modelul sau obiectivul definește ce scară este importantă. Dacă încercați să modelați ceva, iar mecanismul acționează prin intermediul unei modificări relative, scara logaritmică este esențială pentru a capta comportamentul observat în datele dumneavoastră. Dar dacă mecanismul modelului subiacent este aditiv, veți dori să folosiți scala liniară.
Exemplu. Piața bursieră.
Acțiunea A în ziua 1: 100 $. În ziua 2, $\$101$. Fiecare serviciu de urmărire a acțiunilor din lume raportează această schimbare în două moduri! (1) +$\$$1. (2) +1%. Prima este o măsură a schimbării absolute, aditive; a doua este o măsură a schimbării relative.
Ilustrație a schimbării relative față de cea absolută: Schimbarea relativă este aceeași, schimbarea absolută este diferită
Acțiunea A trece de la 1$ la 1,10$.10$.Acțiunea B trece de la 100$ la 110$.
Acțiunea A a câștigat 10%, acțiunea B a câștigat 10% (scară relativă, egală)
….dar acțiunea A a câștigat 10 cenți, în timp ce acțiunea B a câștigat $\$$10 (B a câștigat mai mult în valoare absolută în dolari)
Dacă facem conversia în spațiu logaritmic, modificările relative apar ca modificări absolute.
Acțiunea A trece de la $\log_{10}(\$1)$ la $\log_{10}(\$1,10)$ = 0 la 0,0413
Acțiunea B trece de la $\log_{10}(\$100)$ la $\log_{10}(\$110)$ = 2 la 2.0413
Acum, luând diferența absolută în spațiul logaritmic, aflăm că ambele s-au schimbat cu 0,0413.
Ambele măsuri ale schimbării sunt importante, iar care dintre ele este importantă pentru dumneavoastră depinde exclusiv de modelul dumneavoastră de investiție. Există două modele. (1) Investirea unei sume fixe de capital, sau (2) investirea într-un număr fix de acțiuni.
Modelul 1: Investirea cu o sumă fixă de capital.
Să spunem că ieri acțiunea A costa 1$ pe acțiune, iar acțiunea B costa 100$ pe acțiune. Astăzi, ambele au crescut cu un dolar, ajungând la $\$2 și, respectiv, $\$101. Variația lor absolută este identică (1 dolar), dar variația lor relativă este foarte diferită (100% pentru A, 1% pentru B). Având în vedere că aveți o sumă fixă de capital de investit, să zicem 100 de dolari, vă puteți permite doar 1 acțiune de B sau 100 de acțiuni de A. Dacă ați fi investit ieri, ați fi avut 200 de dolari cu A sau 101 dolari cu B. Deci aici vă „pasă” de câștigurile relative, în special pentru că aveți o sumă finită de capital.
Modelul 2: număr fix de acțiuni.
Într-un scenariu diferit, să presupunem că banca dvs. vă permite să cumpărați doar în blocuri de 100 de acțiuni, iar dvs. ați decis să investiți în 100 de acțiuni A sau B. În cazul anterior, indiferent dacă cumpărați A sau B, câștigurile dvs. vor fi aceleași ($\$$100 – adică $1 pentru fiecare acțiune).
Să presupunem acum că ne gândim la valoarea unei acțiuni ca la o variabilă aleatorie care fluctuează în timp și vrem să venim cu un model care să reflecte în general modul în care se comportă acțiunile. Și să presupunem că vrem să folosim acest model pentru a maximiza profitul. Calculăm o distribuție de probabilitate ale cărei valori x sunt în unități de „preț al acțiunii”, iar valorile y în probabilitatea de a observa un anumit preț al acțiunii. Facem acest lucru pentru acțiunea A și pentru acțiunea B. Dacă subscrieți la primul scenariu, în care aveți o sumă fixă de capital pe care doriți să o investiți, atunci luarea logaritmului acestor distribuții va fi informativă. De ce? Ceea ce vă interesează este forma distribuției în spațiul relativ. Faptul că o acțiune merge de la 1 la 10, sau de la 10 la 100 nu contează pentru dumneavoastră, nu-i așa? Ambele cazuri reprezintă un câștig relativ de 10 ori mai mare. Acest lucru apare în mod natural într-o distribuție pe scară logaritmică, în care câștigurile unitare corespund direct câștigurilor de ori. Pentru două acțiuni a căror valoare medie este diferită, dar a căror variație relativă este distribuită în mod identic (au aceeași distribuție a variațiilor procentuale zilnice), distribuțiile lor logaritmice vor avea o formă identică doar deplasată. În schimb, distribuțiile lor liniare nu vor avea o formă identică, distribuția cu valoare mai mare având o varianță mai mare.
Dacă ar fi să priviți aceleași distribuții în spațiu liniar, sau absolut, ați crede că prețurile acțiunilor cu valoare mai mare corespund unor fluctuații mai mari. Cu toate acestea, pentru scopurile dumneavoastră de investiții, unde doar câștigurile relative contează, acest lucru nu este neapărat adevărat.
Exemplu 2. Reacții chimice.Să presupunem că avem două molecule A și B care suferă o reacție reversibilă.
$A\Frecvență stânga-dreapta B$
care este definită de constantele de viteză individuale
($k_{ab}$) $A\Frecvență dreapta B$($k_{ba}$) $B\Frecvență dreapta A$
Equilibrul lor este definit de relația:
($k_{ab}$) $A\Frecvență dreapta B$($k_{ba}$) $B\Frecvență dreapta A$
Equilibrul lor este definit de relația:
$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Două puncte aici. (1) Aceasta este o relație multiplicativă între concentrațiile lui $A$ și $B$. (2) Această relație nu este arbitrară, ci mai degrabă rezultă direct din proprietățile fizico-chimice fundamentale care guvernează moleculele care se ciocnesc între ele și reacționează.
Să presupunem acum că avem o anumită distribuție a concentrației lui A sau B. Scara adecvată a acestei distribuții este în spațiul logaritmic, deoarece modelul modului în care se modifică oricare dintre concentrații este definit multiplicativ (produsul concentrației lui A cu inversul concentrației lui B). Într-un univers alternativ în care $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, am putea privi această distribuție a concentrației în spațiu absolut, liniar.
Acesta fiind spus, dacă aveți un model, fie că este vorba de predicția bursieră sau de cinetică chimică, puteți oricând să interconvertiți „fără pierderi” între spațiul liniar și spațiul logarhic, atâta timp cât intervalul de valori este $(0,\inf)$. Faptul că alegeți să vă uitați la distribuția liniară sau logaritmică depinde de ceea ce încercați să obțineți din date.
EDIT. O paralelă interesantă care m-a ajutat să-mi construiesc intuiția este exemplul mediilor aritmetice vs. mediile geometrice. O medie aritmetică (vanilie) calculează media numerelor presupunând un model ascuns în care diferențele absolute sunt cele care contează. Exemplu. Media aritmetică dintre 1 și 100 este 50,5. Să presupunem însă că vorbim despre concentrații, unde relația chimică dintre concentrații este multiplicativă. Atunci concentrația medie ar trebui de fapt să fie calculată pe scara logaritmică. Aceasta se numește medie geometrică. Media geometrică dintre 1 și 100 este 10! În ceea ce privește diferențele relative, acest lucru are sens: 10/1 = 10, iar 100/10 = 10, adică schimbarea relativă dintre medie și cele două valori este aceeași. În mod adițional găsim același lucru; 50,5-1= 49,5, iar 100-50,5 = 49,5.
.