Free Press

Spirála, rovinná křivka, která se obecně vine kolem bodu a zároveň se od něj stále vzdaluje. Je známo mnoho druhů spirál, první pochází z dob starověkého Řecka. Křivky jsou pozorovatelné v přírodě a lidé je používali ve strojích a v ornamentu, zejména architektonickém – například vír v jónské hlavě. Dvě nejznámější spirály jsou popsány níže.

Ačkoli řecký matematik Archimédes neobjevil spirálu, která nese jeho jméno (viz obrázek), použil ji ve svém díle O spirálách (asi 225 př. n. l.) ke kvadratizaci kruhu a trisekci úhlu. Archimédova rovnice spirály je r = aθ, kde a je konstanta, r je délka poloměru od středu nebo počátku spirály a θ je úhlová poloha (velikost otáčení) poloměru. Podobně jako drážky na gramofonové desce je vzdálenost mezi po sobě jdoucími otáčkami spirály konstantní – 2πa, pokud θ měříme v radiánech.

Rovnoramennou neboli logaritmickou spirálu (viz obrázek) objevil francouzský vědec René Descartes v roce 1638. V roce 1692 ji švýcarský matematik Jakob Bernoulli pro její matematické vlastnosti pojmenoval spira mirabilis („zázračná spirála“); je vytesána na jeho hrobě. Obecná rovnice logaritmické spirály je r = aeθ cot b, v níž r je poloměr každé otáčky spirály, a a b jsou konstanty, které závisí na konkrétní spirále, θ je úhel natočení při stáčení křivky a e je základ přirozeného logaritmu. Zatímco po sobě jdoucí závity Archimédovy spirály jsou od sebe vzdáleny stejně, vzdálenost mezi po sobě jdoucími závity logaritmické spirály se zvětšuje geometrickou řadou (například 1, 2, 4, 8,…). Mezi její další zajímavé vlastnosti patří, že každý paprsek vycházející z jejího středu protíná každý závit spirály pod konstantním úhlem (rovnostranným), který je v rovnici reprezentován hodnotou b. Také pro b = π/2 se poloměr redukuje na konstantu a – jinými slovy na kružnici o poloměru a. Tuto přibližnou křivku pozorujeme u pavoučích sítí a s větší přesností u komorového měkkýše, nautilu (viz fotografie), a u některých květin.

.