IllustrationEdit
Při kopání pokutového kopu ve fotbale se kopající hráč musí rozhodnout, zda bude kopat na pravou nebo levou stranu branky, a současně se brankář musí rozhodnout, kterým směrem ho bude blokovat. Také kopáč má směr, kterým nejlépe střílí, a to doleva, pokud je pravák. Tuto situaci ilustruje matice pro fotbalovou hru, zjednodušenou formu hry, kterou studovali Chiappori, Levitt a Groseclose (2002). Předpokládá, že pokud brankář správně odhadne, je kop zablokován, což je nastaveno na základní výplatu 0 pro oba hráče. Pokud brankář hádá špatně, je pravděpodobnější, že kop projde, pokud je vlevo (výplata +2 pro kopajícího a -2 pro brankáře), než pokud je vpravo (nižší výplata +1 pro kopajícího a -1 pro brankáře).
| Gólman | |||
| Levý levý | Levý pravý | ||
| Kopáč | Kopáč levý | 0, 0 | +2. Jaký je výsledek? -2 |
| Kick Right | +1, -1 | 0, 0 | |
| Výplata za hru Fotbal (Kicker, Brankář) | |||
Tato hra nemá čistě strategickou rovnováhu, protože jeden nebo druhý hráč by se odchýlil od libovolného profilu strategií – například (Levá, Levý) není rovnováha, protože Kopáč by se odchýlil na Pravý a zvýšil by svou výplatu z 0 na 1.
Rovnováhu kopáče se smíšenou strategií zjistíme z toho, že se odchýlí od náhodného výběru, pokud jeho výplaty z kopu vlevo a kopu vpravo nejsou přesně stejné. Pokud se brankář přikloní doleva s pravděpodobností g, je kopáčova očekávaná výplata z Kopu doleva g(0) + (1-g)(2) a z Kopu doprava g(1) + (1-g)(0). Jejich vyrovnáním získáme g= 2/3. Podobně je brankář ochoten randomizovat pouze tehdy, pokud kopáč zvolí smíšenou strategii s pravděpodobností k takovou, že se výplata Lean Left k(0) + (1-k)(-1) rovná výplatě Lean Right k(-2) + (1-k)(0), takže k = 1/3. Rovnováha smíšené strategie je tedy (Pravděpodobnost(Výkop vlevo) = 1/3, (Pravděpodobnost(Výkop vlevo) = 2/3).
Všimněte si, že v rovnováze kope kopáč na svou nejlepší stranu pouze v 1/3 případů. Je to proto, že brankář tuto stranu více hlídá. Všimněte si také, že v rovnováze je kopajícímu lhostejné, na kterou stranu kope, ale aby se jednalo o rovnováhu, musí zvolit přesně 1/3 pravděpodobnost.
Chiappori, Levitt a Groseclose se snaží změřit, jak důležité je pro kopajícího kopat na svou oblíbenou stranu, přidávají kopy na střed atd. a zkoumají, jak se profesionální hráči skutečně chovají. Zjistili, že skutečně náhodně a že kopáči kopou na svou favorizovanou stranu ve 45 % případů a brankáři se k této straně přiklánějí v 57 % případů. Jejich článek je známý jako příklad toho, jak lidé v reálném životě používají smíšené strategie, přestože nejsou matematicky propracovaní.
VýznamEdit
John Forbes Nash ve svém slavném článku dokázal, že pro každou konečnou hru existuje rovnováha. Nashova ekvilibria lze rozdělit na dva typy. Čistě strategická Nashova ekvilibria jsou taková Nashova ekvilibria, kde všichni hráči hrají čistými strategiemi. Smíšené strategické Nashovy rovnováhy jsou rovnováhy, kde alespoň jeden hráč hraje smíšenou strategii. Nash sice dokázal, že každá konečná hra má Nashovu rovnováhu, ale ne všechny mají čistě strategickou Nashovu rovnováhu. Příklad hry, která nemá Nashovu rovnováhu v čistých strategiích, najdete v článku Shoda penízků. Mnoho her však má Nashovu rovnováhu v čisté strategii (např. koordinační hra, Vězňovo dilema, Hon na jelena). Dále mohou mít hry jak rovnováhu čistých strategií, tak rovnováhu smíšených strategií. Snadným příkladem je čistá koordinační hra, kde kromě čistých strategií (A,A) a (B,B) existuje i smíšená rovnováha, v níž oba hráči hrají některou ze strategií s pravděpodobností 1/2.
Interpretace smíšených strategiíEdit
V 80. letech 20. století se koncept smíšených strategií dostal pod palbu kritiky, protože je „intuitivně problematický“, protože se jedná o slabé Nashovy rovnováhy a hráči je lhostejné, zda se bude řídit pravděpodobností své rovnovážné strategie, nebo se odchýlí k nějaké jiné pravděpodobnosti. teoretik her Ariel Rubinstein popisuje alternativní způsoby chápání tohoto konceptu. První z nich, jehož autorem je Harsanyi (1973), se nazývá purifikace a předpokládá, že výklad smíšených strategií pouze odráží naši nedostatečnou znalost informací a rozhodovacího procesu hráčů. Zdánlivě náhodné volby jsou pak chápány jako důsledky nespecifikovaných, výplatně irelevantních exogenních faktorů. druhá interpretace si představuje, že hráči hry představují velkou populaci agentů. Každý z agentů volí čistou strategii a výplata závisí na podílu agentů volících jednotlivé strategie. Smíšená strategie tedy představuje rozdělení čistých strategií zvolených každou populací. To však neposkytuje žádné zdůvodnění pro případ, kdy hráči jsou individuální agenti.
Později Aumann a Brandenburger (1995), reinterpretovali Nashovu rovnováhu jako rovnováhu v přesvědčeních, nikoli v akcích. Například ve hře kámen-nůžky-papír by rovnováha v přesvědčeních znamenala, že každý z hráčů by věřil, že ten druhý hraje každou strategii se stejnou pravděpodobností. Tato interpretace však oslabuje vypovídací schopnost Nashovy rovnováhy, protože v takové rovnováze je možné, aby každý hráč v každé hře skutečně hrál čistou strategii kámen-nůžky, přestože v průběhu času jsou pravděpodobnosti stejné jako u smíšené strategie.
Strategie chováníEdit
Zatímco smíšená strategie přiřazuje rozdělení pravděpodobnosti nad čistými strategiemi, strategie chování přiřazuje při každé informační množině rozdělení pravděpodobnosti nad množinou možných akcí. Zatímco v kontextu her s normální formou jsou tyto dva pojmy velmi úzce spjaty, pro hry s extenzivní formou mají velmi odlišné důsledky. Zhruba lze říci, že smíšená strategie náhodně volí deterministickou cestu herním stromem, zatímco strategii chování lze považovat za stochastickou cestu.
Vztah mezi smíšenými strategiemi a strategiemi chování je předmětem Kuhnovy věty, behaviorálního pohledu na tradiční hypotézy teorie her. Výsledek stanoví, že v libovolné konečné extenzivní hře s dokonalou odvolatelností existuje pro libovolného hráče a libovolnou smíšenou strategii strategie chování, která proti všem profilům strategií (ostatních hráčů) indukuje stejné rozdělení nad koncovými uzly jako smíšená strategie. Platí to i naopak.
Známý příklad toho, proč je pro ekvivalenci vyžadována dokonalá paměť, uvádějí Piccione a Rubinstein (1997) se svou hrou Absent-Minded Driver.
.