IllustrationEdit
W piłkę nożną rzut karny, kicker musi wybrać, czy kopać w prawo lub w lewo od bramki, a jednocześnie bramkarz musi zdecydować, w jaki sposób go zablokować. Ponadto, kopacz ma kierunek, w którym najlepiej strzela, czyli w lewo, jeśli jest prawonożny. Matryca dla gry w piłkę nożną ilustruje tę sytuację, jest to uproszczona forma gry badanej przez Chiappori, Levitta i Groseclose’a (2002). Zakłada ona, że jeśli bramkarz zgadnie poprawnie, kopnięcie zostaje zablokowane, co jest ustawione na bazową wypłatę 0 dla obu graczy. Jeśli bramkarz zgadnie źle, kopnięcie jest bardziej prawdopodobne jeśli jest w lewo (wypłata +2 dla kopiącego i -2 dla bramkarza) niż jeśli jest w prawo (niższa wypłata +1 dla kopiącego i -1 dla bramkarza).
| Goalie | |||
| Lean Left | Lean Right | ||
| Kicker | Kick Left | 0, 0 | +2, -2 |
| Kick Right | +1, -1 | 0, 0 | |
| Wypłata za grę w piłkę nożną (Kicker, Bramkarz) | |||
Ta gra nie ma równowagi czystej strategii, ponieważ jeden lub drugi gracz mógłby odejść od dowolnego profilu strategii – na przykład, (Lewa, Lewy) nie jest równowagą, ponieważ kopacz mógłby odejść w prawo i zwiększyć swoją wypłatę z 0 do 1.
Równowaga kopacza o mieszanej strategii wynika z faktu, że będzie on odchodził od losowości, chyba że jego wypłaty z lewego i prawego kopnięcia są dokładnie równe. Jeśli bramkarz pochyla się w lewo z prawdopodobieństwem g, to oczekiwana wypłata kopnięcia w lewo wynosi g(0) + (1-g)(2), a kopnięcia w prawo g(1) + (1-g)(0). Zrównanie tych wartości daje g= 2/3. Podobnie, bramkarz jest skłonny do randomizacji tylko wtedy, gdy kicker wybierze strategię mieszaną o prawdopodobieństwie k takim, że wypłata Lean Left wynosząca k(0) + (1-k)(-1) jest równa wypłacie Lean Right wynoszącej k(-2) + (1-k)(0), więc k = 1/3. Tak więc, równowaga strategii mieszanej jest (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Zauważ, że w równowadze, kicker kopie na swoją najlepszą stronę tylko 1/3 czasu. Dzieje się tak dlatego, że bramkarz bardziej pilnuje tej strony. Także zauważać że w równowadze, kopacz być obojętny który sposób on kopać, ale dla ono być równowaga on musieć dokładnie 1/3 prawdopodobieństwo.
Chiappori, Levitt, i Groseclose próbować jak znacząco ono być dla the kopacz jego faworyzować strona, dodawać środek kopnięcie, Etc., i patrzeć jak zawodowy gracz naprawdę zachowywać się. Stwierdzają, że dokonują oni randomizacji i że kopacze kopią na swoją ulubioną stronę 45% czasu, a bramkarze skłaniają się ku tej stronie 57% czasu. Ich artykuł jest znany jako przykład tego, jak ludzie w prawdziwym życiu używają strategii mieszanych, mimo że nie są wyrafinowani matematycznie.
SignificanceEdit
W swojej słynnej pracy John Forbes Nash udowodnił, że istnieje równowaga dla każdej skończonej gry. Równowagi Nasha można podzielić na dwa rodzaje. Równowagi Nasha o czystej strategii to takie, w których wszyscy gracze grają czystymi strategiami. Równouprawnienia Nasha o strategii mieszanej to takie, w których przynajmniej jeden gracz gra strategią mieszaną. Chociaż Nash udowodnił, że każda skończona gra ma równowagę Nasha, nie wszystkie mają równowagę Nasha o czystej strategii. Przykładem gry, która nie ma równowagi Nasha w strategiach czystych, jest Dobieranie grosików. Jednakże, wiele gier ma równowagę Nash w strategiach czystych (np. gra koordynacyjna, dylemat więźnia, polowanie na jelenia). Ponadto, gry mogą mieć zarówno równowagi strategii czystej, jak i mieszanej. Łatwym przykładem jest czysta gra koordynacyjna, w której oprócz strategii czystych (A,A) i (B,B) istnieje równowaga mieszana, w której obaj gracze grają każdą ze strategii z prawdopodobieństwem 1/2.
Interpretacje strategii mieszanychEdit
W latach osiemdziesiątych XX wieku koncepcja strategii mieszanych znalazła się pod silnym ostrzałem jako „intuicyjnie problematyczna”, ponieważ są one słabymi równowagami Nasha, a graczowi jest obojętne, czy podążać za swoim prawdopodobieństwem strategii równowagowej, czy też odejść do jakiegoś innego prawdopodobieństwa. teoretyk gier Ariel Rubinstein opisuje alternatywne sposoby rozumienia tej koncepcji. Pierwszy z nich, zawdzięczany Harsanyi’emu (1973), nazywany jest oczyszczeniem i zakłada, że interpretacja strategii mieszanych odzwierciedla jedynie nasz brak wiedzy na temat informacji i procesu podejmowania decyzji przez graczy. Pozornie losowe wybory są wtedy postrzegane jako konsekwencje nieokreślonych, nieistotnych z punktu widzenia wypłaty czynników egzogenicznych. Druga interpretacja wyobraża sobie graczy jako dużą populację agentów. Każdy z agentów wybiera czystą strategię, a wypłata zależy od frakcji agentów wybierających każdą strategię. Strategia mieszana reprezentuje zatem rozkład czystych strategii wybieranych przez każdą populację. However, this does not provide any justification for the case when players are individual agents.
Later, Aumann and Brandenburger (1995), re-interpreted Nash equilibrium as an equilibrium in beliefs, rather than actions. Na przykład, w grze rock paper scissors równowaga w przekonaniach miałaby każdego gracza wierzącego, że jest równie prawdopodobne, aby drugi gracz grał każdą strategię. Ta interpretacja osłabia opisową moc Nash equilibrium, jednakże, ponieważ jest możliwe w takim equilibrium dla każdego gracza, aby faktycznie zagrać czystą strategię Skały w każdej grze, nawet jeśli w czasie prawdopodobieństwa są tymi ze strategii mieszanej.
Strategia zachowaniaEdit
Podczas gdy mieszana strategia przypisuje rozkład prawdopodobieństwa nad czystymi strategiami, strategia zachowania przypisuje w każdym zestawie informacji rozkład prawdopodobieństwa nad zestawem możliwych działań. Podczas gdy te dwa pojęcia są bardzo blisko związane w kontekście gier normalnej formy, mają one bardzo różne implikacje dla gier ekstensywnej formy. W przybliżeniu, mieszany strategia losowo wybierać deterministyczny ścieżka przez drzewo gra, podczas gdy zachowanie strategia móc widzieć jako stochastyczny ścieżka.
Związek między mieszany i zachowanie strategia być przedmiot Kuhn’s twierdzenie, behawioralny spojrzenie na tradycyjny gra-teoretyczny hipoteza. Wynik ten stwierdza, że w dowolnej skończonej grze ekstensywnej z doskonałą pamięcią, dla dowolnego gracza i dowolnej strategii mieszanej, istnieje strategia zachowania, która, wobec wszystkich profili strategii (innych graczy), wywołuje taki sam rozkład na węzłach końcowych, jak strategia mieszana. Odwrotność jest również prawdziwa.
Słynny przykład tego, dlaczego doskonała pamięć jest wymagana dla równoważności, jest podany przez Piccione i Rubinsteina (1997) w ich grze Absent-Minded Driver.