IllustrationEdit
Beim Elfmeterschießen im Fußball muss der Schütze entscheiden, ob er auf die rechte oder linke Seite des Tores schießt, und gleichzeitig muss der Torwart entscheiden, in welche Richtung er den Schuss abblockt. Außerdem hat der Schütze eine Richtung, in die er am besten schießt, nämlich nach links, wenn er rechtsfüßig ist. Die Matrix für das Fußballspiel illustriert diese Situation, eine vereinfachte Form des Spiels, das von Chiappori, Levitt und Groseclose (2002) untersucht wurde. Sie geht davon aus, dass, wenn der Torwart richtig rät, der Schuss abgeblockt wird, was für beide Spieler die Basisauszahlung von 0 bedeutet. Wenn der Torwart falsch rät, ist es wahrscheinlicher, dass der Schuss nach links geht (Auszahlungen von +2 für den Schützen und -2 für den Torwart) als nach rechts (die geringere Auszahlung von +1 für den Schützen und -1 für den Torwart).
| Torwart | |||
| Lean Left | Lean Right | ||
| Kicker | Kick Left | 0, 0 | +2, -2 |
| Kick Rechts | +1, -1 | 0, 0 | |
| Auszahlung für das Fußballspiel (Kicker, Torwart) | |||
Dieses Spiel hat kein reines Strategiegleichgewicht, weil der eine oder andere Spieler von jedem Strategieprofil abweichen würde – zum Beispiel ist (Links, Links) kein Gleichgewicht, weil der Kicker nach Rechts abweichen und seine Auszahlung von 0 auf 1 erhöhen würde.
Das Gleichgewicht der gemischten Strategie des Kickers ergibt sich aus der Tatsache, dass er von der Randomisierung abweichen wird, es sei denn, seine Auszahlungen aus dem linken und rechten Kick sind genau gleich. Wenn sich der Torwart mit der Wahrscheinlichkeit g nach links lehnt, ist die erwartete Auszahlung des Kickers für den linken Kick g(0) + (1-g)(2) und für den rechten Kick g(1) + (1-g)(0). Die Gleichsetzung dieser Werte ergibt g= 2/3. Ebenso ist der Torwart nur dann bereit zu randomisieren, wenn der Kicker die Wahrscheinlichkeit k für die gemischte Strategie so wählt, dass die Auszahlung für Lean Left von k(0) + (1-k)(-1) gleich der Auszahlung für Lean Right von k(-2) + (1-k)(0) ist, also k = 1/3. Das Gleichgewicht der gemischten Strategie ist also (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Beachten Sie, dass der Kicker im Gleichgewicht nur 1/3 der Zeit auf seine beste Seite schießt. Das liegt daran, dass der Torwart diese Seite stärker bewacht. Beachten Sie auch, dass es dem Schützen im Gleichgewicht gleichgültig ist, auf welche Seite er schießt, aber damit es ein Gleichgewicht ist, muss er genau 1/3 der Wahrscheinlichkeit wählen.
Chiappori, Levitt und Groseclose versuchen zu messen, wie wichtig es für den Schützen ist, auf die von ihm bevorzugte Seite zu schießen, fügen Schüsse aus der Mitte hinzu usw., und untersuchen, wie sich professionelle Spieler tatsächlich verhalten. Sie kommen zu dem Ergebnis, dass die Spieler tatsächlich nach dem Zufallsprinzip vorgehen und dass die Kicker in 45 % der Fälle auf die von ihnen bevorzugte Seite schießen, während die Torhüter in 57 % der Fälle auf diese Seite ausweichen. Ihr Artikel ist ein bekanntes Beispiel dafür, wie Menschen im wirklichen Leben gemischte Strategien anwenden, obwohl sie mathematisch nicht sehr anspruchsvoll sind.
BedeutungBearbeiten
In seiner berühmten Arbeit bewies John Forbes Nash, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Man kann Nash-Gleichgewichte in zwei Arten einteilen. Reine Strategie-Nash-Gleichgewichte sind Nash-Gleichgewichte, bei denen alle Spieler reine Strategien spielen. Gemischte Strategie-Nash-Gleichgewichte sind Gleichgewichte, bei denen mindestens ein Spieler eine gemischte Strategie spielt. Nash hat zwar bewiesen, dass jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht hat, aber nicht alle haben Nash-Gleichgewichte mit reinen Strategien. Ein Beispiel für ein Spiel, das kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien aufweist, ist das Spiel „Matching pennies“. Viele Spiele haben jedoch Nash-Gleichgewichte mit reiner Strategie (z. B. das Koordinationsspiel, das Gefangenendilemma, die Hirschjagd). Außerdem können Spiele sowohl reine Strategie- als auch gemischte Strategiegleichgewichte aufweisen. Ein einfaches Beispiel ist das reine Koordinationsspiel, bei dem neben den reinen Strategien (A,A) und (B,B) ein gemischtes Gleichgewicht existiert, bei dem beide Spieler eine der beiden Strategien mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 spielen.
Interpretationen von gemischten StrategienEdit
In den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien unter heftigen Beschuss, weil es „intuitiv problematisch“ ist, da es sich um schwache Nash-Gleichgewichte handelt und es einem Spieler gleichgültig ist, ob er seiner Gleichgewichtsstrategiewahrscheinlichkeit folgt oder auf eine andere Wahrscheinlichkeit ausweicht. Der Spieltheoretiker Ariel Rubinstein beschreibt alternative Möglichkeiten, das Konzept zu verstehen. Die erste, die auf Harsanyi (1973) zurückgeht, wird Reinigung genannt und geht davon aus, dass die Interpretation gemischter Strategien lediglich unseren Mangel an Wissen über die Informationen und den Entscheidungsprozess der Spieler widerspiegelt. Scheinbar zufällige Entscheidungen werden dann als Folgen nicht spezifizierter, für die Auszahlung irrelevanter exogener Faktoren angesehen.Eine zweite Interpretation stellt sich vor, dass die Spieler für eine große Population von Agenten stehen. Jeder der Agenten wählt eine reine Strategie, und die Auszahlung hängt von dem Anteil der Agenten ab, die jede Strategie wählen. Die gemischte Strategie stellt somit die Verteilung der von jeder Population gewählten reinen Strategien dar. Dies liefert jedoch keine Rechtfertigung für den Fall, dass es sich bei den Spielern um individuelle Agenten handelt.
Später interpretierten Aumann und Brandenburger (1995) das Nash-Gleichgewicht als ein Gleichgewicht der Überzeugungen und nicht der Aktionen. Beim Stein-Schere-Papier-Spiel beispielsweise würde ein Gleichgewicht der Überzeugungen bedeuten, dass jeder Spieler davon ausgeht, dass der andere mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen wird. Diese Interpretation schwächt jedoch die Aussagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht möglich ist, dass jeder Spieler bei jedem Spielzug tatsächlich eine reine Strategie von Stein spielt, obwohl die Wahrscheinlichkeiten im Laufe der Zeit die der gemischten Strategie sind.
VerhaltensstrategieBearbeiten
Während eine gemischte Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über reine Strategien zuweist, weist eine Verhaltensstrategie bei jeder Informationsmenge eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu. Während die beiden Konzepte im Kontext von Normalformspielen sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie für extensive Formspiele sehr unterschiedliche Implikationen. Grob gesagt, wählt eine gemischte Strategie zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als stochastischer Pfad angesehen werden kann.
Die Beziehung zwischen gemischten und Verhaltensstrategien ist Gegenstand des Kuhnschen Theorems, einer verhaltenswissenschaftlichen Sichtweise auf traditionelle spieltheoretische Hypothesen. Das Ergebnis besagt, dass in jedem endlichen extensiven Spiel mit perfekter Erinnerung für jeden Spieler und jede gemischte Strategie eine Verhaltensstrategie existiert, die gegen alle Profile von Strategien (anderer Spieler) die gleiche Verteilung über Endknoten induziert wie die gemischte Strategie. Die Umkehrung ist ebenfalls wahr.
Ein berühmtes Beispiel, warum perfekter Rückruf für die Äquivalenz erforderlich ist, geben Piccione und Rubinstein (1997) mit ihrem Absent-Minded Driver Spiel.