IllusztrációSzerkesztés
A labdarúgó büntetőrúgásnál a rúgónak el kell döntenie, hogy a kapu jobb vagy bal oldalára rúg-e, és ezzel egyidejűleg a kapusnak el kell döntenie, hogy melyik irányba blokkolja azt. Emellett a rúgónak van egy iránya, ahová a legjobban tud lőni, ami a bal, ha jobblábas. A focimeccs mátrixa ezt a helyzetet szemlélteti, amely a Chiappori, Levitt és Groseclose (2002) által vizsgált játék egyszerűsített formája. Feltételezi, hogy ha a kapus helyesen tippel, akkor a rúgást blokkolja, ami mindkét játékos számára 0 alapkifizetést jelent. Ha a kapus rosszul tippel, a rúgás nagyobb valószínűséggel megy be, ha balra van (a rúgónak +2, a kapusnak -2 a kifizetés), mint ha jobbra van (a rúgónak +1, a kapusnak -1 az alacsonyabb kifizetés).
| Goalie | |||
| Balról balra | Balról jobbra | ||
| Kicker | Rúgás balra | 0, 0 | +2, -2 |
| Rúgás jobbra | +1, -1 | 0, 0 | |
| Fizetés a focimeccsért (Kicker, Goalie) | |||
Ez a játék nem rendelkezik tiszta stratégiájú egyensúlyi helyzettel, mert az egyik vagy a másik játékos eltérne a stratégiák bármelyik profiljától – például a (Bal, bal) nem egyensúlyi helyzet, mert a Kicker eltérne a jobbra, és a kifizetését 0-ról 1-re növelné.
A Rúgó vegyes stratégiájú egyensúlyát abból a tényből találjuk meg, hogy eltér a véletlenszerűségtől, kivéve, ha a Balrúgásból és a Jobbrúgásból származó nyereménye pontosan egyenlő. Ha a kapus g valószínűséggel balra dől, akkor a rúgó várható nyereménye a balrúgásból g(0) + (1-g)(2), a jobbrúgásból pedig g(1) + (1-g)(0). Ha ezeket egyenlővé tesszük, akkor g= 2/3. Hasonlóképpen, a kapus csak akkor hajlandó randomizálni, ha a rúgó olyan k vegyes stratégia valószínűséget választ, hogy a balra dőlés k(0) + (1-k)(-1) kifizetése egyenlő a jobbra dőlés k(-2) + (1-k)(0) kifizetésével, tehát k = 1/3. Így a vegyes stratégiájú egyensúly (Prob(Kick Left) = 1/3, (Prob(Lean Left) = 2/3).
Megjegyezzük, hogy az egyensúlyban a rúgó csak az esetek 1/3-ában rúg a legjobb oldalára. Ez azért van, mert a kapus azt az oldalt védi jobban. Figyeljük meg azt is, hogy az egyensúlyban a rúgónak mindegy, hogy melyik oldalra rúg, de ahhoz, hogy egyensúly legyen, pontosan 1/3 valószínűséggel kell választania.
Chiappori, Levitt és Groseclose megpróbálja mérni, hogy mennyire fontos a rúgónak, hogy a neki kedvező oldalra rúgjon, hozzáadja a centerrúgásokat stb. és megvizsgálja, hogyan viselkednek valójában a profi játékosok. Azt találják, hogy valóban véletlenszerű, és hogy a rúgók az esetek 45%-ában a kedvenc oldalukra rúgnak, a kapusok pedig az esetek 57%-ában erre az oldalra hajlanak. Cikkük jól ismert példája annak, hogy a való életben az emberek vegyes stratégiákat alkalmaznak annak ellenére, hogy matematikailag nem kifinomultak.
JelentőségSzerkesztés
John Forbes Nash híres tanulmányában bebizonyította, hogy minden véges játékra létezik egyensúlyi helyzet. A Nash-egyensúlyokat két típusra oszthatjuk. A tiszta stratégiájú Nash-egyensúlyok olyan Nash-egyensúlyok, ahol minden játékos tiszta stratégiát játszik. A vegyes stratégiájú Nash-egyensúlyok olyan egyensúlyok, ahol legalább egy játékos vegyes stratégiát játszik. Nash bebizonyította, hogy minden véges játéknak van Nash-egyensúlya, de nem mindegyiknek van tiszta stratégiájú Nash-egyensúlya. Egy olyan játékra, amelynek nincs tiszta stratégiájú Nash-egyensúlya, lásd: Matching pennies. Sok játéknak van azonban tiszta stratégiájú Nash-egyensúlya (pl. a koordinációs játék, a fogoly dilemma, a szarvasvadászat). Továbbá a játékoknak lehetnek tiszta és vegyes stratégiájú egyensúlyai is. Egyszerű példa erre a tiszta koordinációs játék, ahol az (A,A) és (B,B) tiszta stratégiák mellett létezik egy vegyes egyensúly, amelyben mindkét játékos 1/2 valószínűséggel bármelyik stratégiát játssza.
A vegyes stratégiák értelmezéseiSzerkesztés
Az 1980-as években a vegyes stratégiák fogalma heves támadások kereszttüzébe került, mivel “intuitívan problematikus”, mivel ezek gyenge Nash-egyensúlyok, és a játékosnak közömbös, hogy követi-e az egyensúlyi stratégiájának valószínűségét, vagy eltér-e valamilyen más valószínűséggel. Ariel Rubinstein játékelméletíró leírja a fogalom megértésének alternatív módjait. Az elsőt, amely Harsányinak (1973) köszönhető, tisztításnak nevezik, és feltételezi, hogy a vegyes stratégiák értelmezése csupán azt tükrözi, hogy nem ismerjük a játékosok információit és döntéshozatali folyamatát. A látszólag véletlenszerű döntéseket ekkor nem specifikált, a kifizetés szempontjából irreleváns exogén tényezők következményeinek tekintjük.A második értelmezés szerint a játékosok egy nagyszámú ágenspopulációt képviselnek. Minden egyes ágens egy tiszta stratégiát választ, és a kifizetés az egyes stratégiákat választó ágensek hányadától függ. A vegyes stratégia tehát az egyes populációk által választott tiszta stratégiák eloszlását jelenti. Ez azonban nem ad igazolást arra az esetre, amikor a játékosok egyéni ágensek.
Később Aumann és Brandenburger (1995) újraértelmezte a Nash-egyensúlyt, mint a meggyőződések, nem pedig a cselekvések egyensúlyát. Például a kő-papír-olló játékban a hiedelmek egyensúlya azt jelentené, hogy mindkét játékos azt hiszi, hogy a másik egyformán valószínű, hogy mindegyik stratégiát játssza. Ez az értelmezés azonban gyengíti a Nash-egyensúly leíró erejét, mivel egy ilyen egyensúlyban lehetséges, hogy minden játékos a játék minden egyes játszmájában ténylegesen a Rock tiszta stratégiáját játssza, még akkor is, ha idővel a valószínűségek a kevert stratégia valószínűségei.
Viselkedési stratégiaSzerkesztés
Míg a kevert stratégia valószínűségi eloszlást rendel a tiszta stratégiákhoz, a viselkedési stratégia minden információhalmazon valószínűségi eloszlást rendel a lehetséges akciók halmazához. Míg a két fogalom a normál formájú játékok kontextusában nagyon szorosan kapcsolódik egymáshoz, addig az extenzív formájú játékok esetében nagyon eltérő következményekkel járnak. Nagyjából egy kevert stratégia véletlenszerűen választ egy determinisztikus utat a játékfán keresztül, míg egy viselkedési stratégia egy sztochasztikus útnak tekinthető.
A kevert és viselkedési stratégiák közötti kapcsolat a Kuhn-tétel tárgya, amely a hagyományos játékelméleti hipotézisek viselkedési szemlélete. Az eredmény megállapítja, hogy bármely véges extenzív formájú játékban, tökéletes emlékezéssel, bármely játékos és bármely vegyes stratégia esetén létezik olyan viselkedési stratégia, amely a stratégiák (más játékosok) minden profiljával szemben ugyanazt a terminális csomópontok feletti eloszlást indukálja, mint a vegyes stratégia. A fordítottja is igaz.
Egy híres példát arra, hogy miért van szükség tökéletes visszaemlékezésre az ekvivalenciához, Piccione és Rubinstein (1997) adnak az Absent-Minded Driver játékukkal.