Når man tænker på en vektor, er der sikkert mange, der tænker på Vector’s definition (fra Despicable Me). Han siger:
Det er et matematisk begreb. En størrelse repræsenteret ved en pil med både retning og størrelse. Vector! Det er mig – for jeg begår forbrydelser med både retning og størrelsesorden! Åh ja!
Okay, men altså. Hvad er en vektor? Jeg kan godt lide følgende definition (og det er den definition, jeg giver eleverne i klassen).
Vektor: En størrelse med mere end ét element (mere end én oplysning).
Det er ikke den bedste definition, men den er bedre end “størrelse og retning”. Måske er den bedste måde at forstå vektorer på at se på nogle eksempler. Lad os antage, at jeg befinder mig i et rum, og at jeg bevæger mig rundt til forskellige steder for at måle temperaturen. Temperaturen på et bestemt sted har kun ét element (f.eks. 22° C). Da temperaturen kun har ét element af information, kalder vi den en skalar. Andre eksempler på skalarer ville være: masse, elektrisk ladning, effekt, elektrisk potentialforskel.
Så lad os nu antage, at jeg går rundt til forskellige punkter i rummet for at bestemme luftstrømmen. På hvert sted kan luften bevæge sig i tre forskellige retninger (x,y,z). Så for virkelig at måle lufthastigheden på hvert sted skal jeg bruge 3 elementer. Vi kalder denne lufthastighed for en vektor (en 3-dimensionel vektor), fordi den indeholder tre oplysninger. Andre eksempler på vektorer ville være: kræfter, elektriske felter, acceleration, forskydning.
Kan man have vektorer med flere eller færre end 3 elementer? Ja. I introduktionskurser i fysik er det almindeligt, at man blot ser på vektorer med kun 2 dimensioner (x og y) for at gøre tingene enklere. Man kan også have 4 eller 5 eller endda flere dimensioner i vektorer. Det eneste problem med vektorer af højere orden er, at det er sværere at visualisere dem i et tredimensionelt rum.
Nulvektoren
Her er det virkelige problem med definitionen af en vektor i “størrelse og retning” – nulvektoren. Lad os antage, at du ønsker at repræsentere en forskydning i 2 dimensioner. Hvis du starter fra oprindelsen og bevæger dig 3 meter i x-retningen og -2 i y-retningen, kunne du skrive det som:
Hvis du ville, kunne du finde størrelsen af denne vektorforskydning med en værdi på 3,61 meter. Du kunne også finde “retningen” af denne vektor og sige, at den er 33,7° under x-aksen. Men hvad nu hvis du ville repræsentere den forskydning, der ikke gik nogen steder hen? Jeg kunne sagtens skrive dette som følgende vektor:
Kan jeg finde størrelsen af denne vektor? Ja, det er meget let at se, at vektoren har en magnitude på nul meter. Hvad med retningen? Tja, hvis forskydningen faktisk ikke gik nogen steder hen, kan man ikke rigtig sige, hvilken retning den var i. Det bedste svar er at sige, at retningen er udefineret. Så her er et tilfælde af en forskydning med en størrelse på nul og en udefineret retning. Er det en vektor? Absolut. Er jeg bare kræsen med definitionen af en vektor? Sandsynligvis.
Nulvektoren i den faktiske fysik
Nulvektoren er ikke nul. Bare for at gøre det klart, kan jeg skrive følgende to ligninger:
Det er forskellige størrelser. Man kan ikke sætte en vektormængde lig med en skalarisk størrelse. Det kan man bare ikke gøre. Men det sker dog. Denne ligning stod i en meget nyere introduktionstekst i fysik. Det er præcis sådan, at ligningen blev vist i teksten.
Lærebogen forsøgte at vise ideen om et objekt i ligevægt. I ligevægt er den samlede kraft på objektet nulvektoren. Denne ligning siger imidlertid, at den samlede sum af vektorkræfterne netop er lig med nul (den skalære). Åh, måske bruger de 0 til at repræsentere nulvektoren? Det ville være en plausibel forklaring, hvis de ikke brugte pile til at repræsentere andre vektorer. Nej, nulvektoren er stadig en vektor. Den bedste måde at vise denne ligning på ville være:
I denne version er der en vektor, der er lig med en vektor. Det er bedre.
Lad mig slutte med to bemærkninger. For det første har jeg før talt om vektorer. Et af mine yndlingsindlæg er dette svar til Khan Academy om vektorer. I det væsentlige er det anden del af en diskussion om løsning af kinematikproblemer, hvor jeg argumenterer for, at man stadig kan bruge vektorer, selv om det er et endimensionelt problem. For det andet: Hvis du vil sætte vektorer lig med nulvektoren, skal du sørge for at kalde den for nulvektoren og ikke bare “nul”.