Eine Matrix, die einer Dreiecksmatrix ähnlich ist, wird als triangularisierbar bezeichnet. Abstrakt gesehen ist dies gleichbedeutend mit der Stabilisierung einer Flagge: Obere Dreiecksmatrizen sind genau diejenigen, die die Standardflagge erhalten, die durch die geordnete Standardbasis ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} gegeben ist.
und dem daraus resultierenden Flag 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\links\langle e_{1}\rechts\rangle <\links\langle e_{1},e_{2}\rechts\rangle <\cdots <\links\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rechts\rangle =K^{n}.}
Alle Flaggen sind konjugiert (da die allgemeine lineare Gruppe transitiv auf Basen wirkt), so dass jede Matrix, die eine Flagge stabilisiert, einer Matrix ähnlich ist, die die Standardflagge stabilisiert.
Jede komplexe quadratische Matrix ist triangularisierbar. In der Tat ist eine Matrix A über einem Feld, das alle Eigenwerte von A enthält (z.B. jede Matrix über einem algebraisch geschlossenen Feld), einer Dreiecksmatrix ähnlich. Dies kann durch Induktion auf die Tatsache bewiesen werden, dass A einen Eigenvektor hat, indem man den Quotientenraum durch den Eigenvektor nimmt und induziert, um zu zeigen, dass A eine Flagge stabilisiert und somit in Bezug auf eine Basis für diese Flagge triangularisierbar ist.
Eine präzisere Aussage liefert das Jordan-Normalform-Theorem, das besagt, dass A in dieser Situation einer oberen Dreiecksmatrix einer ganz bestimmten Form ähnlich ist. Das einfachere Ergebnis der Triangularisierung ist jedoch oft ausreichend und wird in jedem Fall beim Beweis des Satzes der Jordan-Normalform verwendet.
Im Falle komplexer Matrizen ist es möglich, mehr über die Triangularisierung zu sagen, nämlich, dass jede quadratische Matrix A eine Schur-Zerlegung hat. Das bedeutet, dass A unitär äquivalent (d.h. ähnlich, unter Verwendung einer unitären Matrix als Basiswechsel) zu einer oberen Dreiecksmatrix ist; dies folgt, wenn man eine hermitesche Basis für die Flagge nimmt.
Gleichzeitige TriangularisierbarkeitBearbeiten
Eine Menge von Matrizen A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
wird als simultan triangularisierbar bezeichnet, wenn es eine Basis gibt, unter der sie alle oberdreieckig sind; äquivalent dazu, wenn sie durch eine einzige Ähnlichkeitsmatrix P oberdreieckig sind. Eine solche Menge von Matrizen ist leichter zu verstehen, wenn man die Algebra der Matrizen betrachtet, die sie erzeugt, nämlich alle Polynome in den A i , {\displaystyle A_{i},}
bezeichnet als K . {\displaystyle K.}
Gleichzeitige Triangularisierbarkeit bedeutet, dass diese Algebra zur Lie-Unteralgebra der oberen Dreiecksmatrizen konjugiert ist, und ist äquivalent dazu, dass diese Algebra eine Lie-Unteralgebra einer Borel-Unteralgebra ist.
Das grundlegende Ergebnis ist, dass (über einem algebraisch geschlossenen Feld) die kommutierenden Matrizen A , B {\displaystyle A,B}
oder allgemeiner A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
sind gleichzeitig triangularisierbar. Dies kann bewiesen werden, indem man zunächst zeigt, dass kommutierende Matrizen einen gemeinsamen Eigenvektor haben, und dann wie zuvor auf die Dimension induziert. Dies wurde von Frobenius ab 1878 für ein kommutierendes Paar bewiesen, wie unter Kommutierende Matrizen beschrieben. Wie für eine einzelne Matrix können diese über die komplexen Zahlen durch unitäre Matrizen triangularisiert werden.
Die Tatsache, dass kommutierende Matrizen einen gemeinsamen Eigenvektor haben, kann als Ergebnis von Hilberts Nullstellensatz interpretiert werden: Kommutierende Matrizen bilden eine kommutative Algebra K {\displaystyle K}
über K {\displaystyle K}
, die als Varietät im k-dimensionalen affinen Raum interpretiert werden kann, und die Existenz eines (gemeinsamen) Eigenwerts (und damit eines gemeinsamen Eigenvektors) entspricht der Tatsache, dass diese Varietät einen Punkt hat (nicht leer ist), was der Inhalt des (schwachen) Nullstellensatzes ist. In algebraischer Hinsicht entsprechen diese Operatoren einer algebraischen Darstellung der Polynomalgebra in k Variablen.
Dies wird durch den Lie-Satz verallgemeinert, der zeigt, dass jede Darstellung einer lösbaren Lie-Algebra gleichzeitig oberdreieckig ist, wobei der Fall der kommutierenden Matrizen der Fall der abelschen Lie-Algebra ist, die erst recht lösbar ist.
Allgemeiner und genauer ist eine Menge von Matrizen A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
ist gleichzeitig triangularisierbar, wenn und nur wenn die Matrix p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
nilpotent ist für alle Polynome p in k nichtkommutierenden Variablen, wobei {\displaystyle }
der Kommutator ist; für kommutierende A i {\displaystyle A_{i}}
verschwindet der Kommutator, so dass dies gilt. Dies wurde bewiesen in (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); ein kurzer Beweis ist gegeben in (Prasolov 1994, S. 178-179). Eine Richtung ist klar: Wenn die Matrizen gleichzeitig triangularisierbar sind, dann
streng oberdreieckig (also nilpotent), was durch Multiplikation mit einem beliebigen A k {\displaystyle A_{k}} erhalten bleibt
oder einer Kombination davon – in der triangularisierenden Basis hat sie immer noch 0s auf der Diagonalen.