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Beispiel 1: Untersuche die folgenden Sätze.

	Jedes Dreieck hat drei Seiten.
	Albany ist die Hauptstadt des Staates New York.
	Keine Primzahl ist gerade.

Jeder dieser Sätze ist ein geschlossener Satz.

Definition: Ein geschlossener Satz ist eine objektive Aussage, die entweder wahr oder falsch ist.

Daher hat jeder geschlossene Satz in Beispiel 1 einen Wahrheitswert von entweder wahr oder falsch, wie unten gezeigt.

	Jedes Dreieck hat drei Seiten.	wahr
	Albany ist die Hauptstadt des Staates New York.	wahr
	Keine Primzahl ist gerade.	falsch

Beachte, dass der dritte Satz falsch ist, da 2 eine Primzahl ist. Es ist möglich, dass ein geschlossener Satz zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche Wahrheitswerte hat. Dies wird im folgenden Beispiel 2 gezeigt.

Beispiel 2:

	Heute ist Dienstag.
	Bill Clinton war der 42. Präsident der Vereinigten Staaten.

Beispiel 3: Untersuche die folgenden Sätze.

	x + 3 = 7
	Sie hat Mathe bestanden.
	y – 4 = 11
	Er ist mein Bruder.

Die Sätze in Beispiel 3 sind offene Sätze.

Definition: Ein offener Satz ist eine Aussage, die eine Variable enthält und je nach dem Wert, der die Variable ersetzt, entweder wahr oder falsch wird.

Schauen wir uns noch einmal Beispiel 3 an. Dieses Mal werden wir die Variable für jeden offenen Satz identifizieren.

	x + 3 = 7	Die Variable ist x.
	Sie hat Mathe bestanden.	Die Variable ist sie.
	y – 4 = 11	Die Variable ist y.
	Er ist mein Bruder.	Die Variable ist er.

Nun, da wir die Variablen identifiziert haben, können wir die Bedeutung dieser offenen Sätze analysieren. Satz 1 ist wahr, wenn x durch 4 ersetzt wird, aber falsch, wenn x durch eine andere Zahl als 4 ersetzt wird. Satz 3 ist wahr, wenn y durch 15 ersetzt wird, aber sonst falsch. Satz 2 ist entweder wahr oder falsch, je nach dem Wert der Variablen „sie“. In ähnlicher Weise ist Satz 4 entweder wahr oder falsch, je nach dem Wert der Variablen „er“. Zusammengefasst hängt der Wahrheitswert jedes offenen Satzes davon ab, welcher Wert verwendet wird, um die Variable in diesem Satz zu ersetzen.

Beispiel 4:

Gegeben:	Lassen Sie p repräsentieren, „Baseball ist ein Sport.“
	Soll q darstellen: „Ein Dollar hat 100 Cent.“
	Soll r darstellen: „Sie macht ihre Hausaufgaben.“
	Soll s darstellen: „Ein Zehncentstück ist keine Münze.“
Problem:	Schreibe jeden der folgenden Sätze mit Hilfe von Symbolen und gib an, ob er wahr, falsch oder offen ist.

Beispiel 5:

Gegeben:	Lass p für den geschlossenen Satz „Die Zahl 9 ist ungerade.“
Problem:	Was bedeutet ~p?

In Beispiel 5 sollen wir die Negation von p finden.

Definition: Die Negation der Aussage p ist „nicht p“. Die Verneinung von p wird durch „~p“ symbolisiert. Der Wahrheitswert von ~p ist das Gegenteil des Wahrheitswertes von p.

Lösung: Da p wahr ist, muss ~p falsch sein.

p:	Die Zahl 9 ist ungerade.	wahr
~p:	Die Zahl 9 ist nicht ungerade.	falsch

Schauen wir uns noch einige Beispiele für die Negation an.

Beispiel 6:

r:	7 < 5	falsch
~r:	7 5	wahr

Beispiel 7:

a:	Das Produkt von zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl.	wahr
~a:	Das Produkt zweier negativer Zahlen ist keine positive Zahl.	falsch

Wir können eine Wahrheitstabelle konstruieren, um alle möglichen Wahrheitswerte einer Aussage und ihrer Negation zu bestimmen.

Definition: Eine Wahrheitstabelle hilft uns, alle möglichen Wahrheitswerte einer Aussage zu finden. Jede Aussage ist entweder Wahr (T) oder Falsch (F), aber nicht beides.

Verbindung: Damit wir uns diese Definition besser merken können, denke an einen Computer, der entweder an oder aus ist, aber nicht beides.

Beispiel 8: Konstruiere eine Wahrheitstabelle für die Negation von x.

Lösung:

x	~x
T	F
F	T

In Beispiel 8 ist ~x falsch, wenn x wahr ist; und wenn x falsch ist, ist ~x wahr. Aus dieser Wahrheitstabelle kann man ersehen, dass eine Aussage und ihre Negation entgegengesetzte Wahrheitswerte haben.

Beispiel 9: Konstruiere eine Wahrheitstabelle für die Negation von p.

Lösung:

p	~p
T	F
F	T

Wir können eine Negation auch negieren. Zum Beispiel ist die Negation von ~p ~(~p) oder p. Dies wird im folgenden Beispiel illustriert.

Beispiel 10: Konstruiere eine Wahrheitstabelle für die Negation von p und für die Negation von nicht p.

Lösung:

p	~p	~(~p)
T	F	T
F	T	F

Zusammenfassung: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Ein geschlossener Satz ist eine objektive Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Ein offener Satz ist eine Aussage, die eine Variable enthält und je nach dem Wert, der die Variable ersetzt, entweder wahr oder falsch ist. Die Negation der Aussage p ist „nicht p“, symbolisiert durch „~p“. Eine Aussage und ihre Verneinung haben entgegengesetzte Wahrheitswerte.

Übungen

Anweisungen: Lies jede der folgenden Fragen. Wähle deine Antwort aus, indem du auf die entsprechende Schaltfläche klickst. Eine Rückmeldung zu deiner Antwort findest du im KASTEN ERGEBNIS. Wenn du einen Fehler machst, wähle eine andere Schaltfläche.

	Welcher der folgenden Sätze ist ein geschlossener Satz?

	Was ist die Negation von „Jenny fährt mit dem Bus“?

	Welcher der folgenden ist die Negation von x?

	Gibt: a: Ein Dreieck ist kein Vieleck. b: Ein Quadrat ist ein Rechteck. Problem: Welche der folgenden Aussagen ist die Negation von „Ein Dreieck ist kein Vieleck“?

	Welcher der folgenden ist ein offener Satz?