Auf den ersten Blick mag man denken, dass Unendlich geteilt durch Unendlich gleich Eins ist. Schließlich ist jede Zahl, die durch sich selbst geteilt wird, gleich eins, aber die Unendlichkeit ist keine reelle oder rationale Zahl. Ich werde beweisen, was Unendlichkeit geteilt durch Unendlichkeit wirklich bedeutet, und die Antwort wird dir vielleicht nicht gefallen.
Zunächst werde ich das Axiom (die Annahme) definieren, dass Unendlich geteilt durch Unendlich gleich Eins ist:
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Da ∞ = ∞ + ∞ ist, werden wir die erste Unendlichkeit in unserem Axiom ersetzen:
| ∞ + ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Der nächste Schritt besteht darin, diesen Bruch in zwei Brüche zu zerlegen:
| ∞
∞ |
+ | ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Nachdem wir das Axiom zweimal in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:
| 1 | + | 1 | = 1 |
|---|
Schließlich kann dies umgeschrieben werden als:
| 2 | = 1 |
|---|
Diese Gleichung ist offensichtlich falsch. Daher ist Unendlich geteilt durch Unendlich NICHT gleich Eins. Stattdessen können wir jede reelle Zahl gleich Eins bekommen, wenn wir annehmen, dass Unendlich geteilt durch Unendlich gleich Eins ist, also ist Unendlich geteilt durch Unendlich undefiniert.
Wenn Sie mir immer noch nicht glauben, lassen Sie uns versuchen, dies auf andere Weise zu beweisen. Beginnen wir wieder mit unserem Axiom.
| ∞
∞ |
= 1 |
|---|
Nächste teilen wir diesen Bruch in zwei Teile.
| ∞ * | 1
∞ |
= 1 |
|---|
Löse den Bruch von 1 geteilt durch ∞. Zunächst würde man denken, dass 1 geteilt durch ∞ gleich 0 ist, aber das ist nicht richtig, denn das würde bedeuten, dass 0 mal ∞ gleich 1 wäre. Und das ist hier nachweislich nicht der Fall. Allerdings ist 1 geteilt durch ∞ gleich einem Grenzwert, der gegen 0 geht. Mit anderen Worten: 1 geteilt durch ∞ ist nicht gleich einer Zahl oder undefiniert.
| ∞ * | unbestimmt | = 1 |
|---|
Damit sind wir in eine Sackgasse geraten. Daher ist Unendlichkeit geteilt durch Unendlichkeit immer noch undefiniert.
von Phil für die Menschlichkeit
am 07.01.2007