Cuando se piensa en un vector, probablemente mucha gente invoque la definición de Vector (de Despicable Me). Dice:
Es un término matemático. Una cantidad representada por una flecha con dirección y magnitud. ¡Vector! Ese soy yo… ¡porque estoy cometiendo crímenes con dirección y magnitud! ¡Oh sí!
Ok, pero realmente. ¿Qué es un vector? Me gusta la siguiente definición (y es la que doy a los alumnos en clase).
Vector: cantidad con más de un elemento (más de una información).
No es la mejor definición, pero es mejor que «magnitud y dirección». Tal vez la mejor manera de entender los vectores es ver algunos ejemplos. Supongamos que estoy en una habitación y me desplazo a diferentes lugares para medir la temperatura. La temperatura en un lugar concreto sólo tiene un elemento (como 22° C). Como la temperatura sólo tiene un elemento de información, la llamamos escalar. Otros ejemplos de escalares serían: masa, carga eléctrica, potencia, diferencia de potencial eléctrico.
Supongamos ahora que me desplazo a diferentes puntos de la habitación para determinar el flujo de aire. En cada lugar, el aire puede estar moviéndose en tres direcciones diferentes (x,y,z). Por lo tanto, para medir realmente la velocidad del aire en cada lugar necesitaría 3 elementos. Llamamos a esta velocidad del aire un vector (un vector tridimensional) porque tiene tres elementos de información. Otros ejemplos de vectores serían: fuerzas, campos eléctricos, aceleración, desplazamiento.
¿Se pueden tener vectores con más o menos de 3 elementos? Sí. En los cursos de introducción a la física, es común ver vectores con sólo 2 dimensiones (x e y) para simplificar las cosas. Además, puedes tener 4 o 5 o incluso más dimensiones en los vectores. El único problema con los vectores de orden superior es que es más difícil visualizarlos en un espacio tridimensional.
El vector cero
Aquí está el verdadero problema con la definición de «magnitud y dirección» de un vector–el vector cero. Supongamos que quieres representar un desplazamiento en 2 dimensiones. Si partes del origen y te mueves 3 metros en la dirección x y -2 en la dirección y, podrías escribirlo como:
Si quisieras, podrías encontrar la magnitud de este desplazamiento vectorial con un valor de 3,61 metros. También podrías encontrar la «dirección» de este vector y decir que está 33,7º por debajo del eje x. ¿Pero qué pasa si quieres representar el desplazamiento que no va a ninguna parte? Podría escribirlo fácilmente como el siguiente vector:
¿Puedo encontrar la magnitud de ese vector? Sí, es muy fácil ver que el vector tiene una magnitud de cero metros. ¿Y la dirección? Bueno, si el desplazamiento no ha ido a ninguna parte no se puede decir realmente en qué dirección ha ido. La mejor respuesta es decir que la dirección es indefinida. Así que aquí tenemos un caso de desplazamiento con magnitud cero y dirección indefinida. ¿Es un vector? Por supuesto. ¿Estoy siendo exigente con la definición de un vector? Probablemente.
El vector cero en la física actual
El vector cero no es cero. Para que quede claro, puedo escribir las dos ecuaciones siguientes:
Son cantidades diferentes. No se puede poner una cantidad vectorial igual a una cantidad escalar. Simplemente no puedes hacerlo. Sin embargo, sucede. Esta ecuación estaba en un texto de introducción a la física muy reciente. Así es exactamente como se mostraba la ecuación en el texto.
El libro de texto trataba de mostrar la idea de un objeto en equilibrio. En equilibrio, la fuerza total sobre el objeto es el vector cero. Sin embargo, esta ecuación dice que la suma total de las fuerzas vectoriales es igual a cero (el escalar). ¿Quizás están usando el 0 para representar el vector cero? Esa sería una explicación plausible si no usaran flechas para representar otros vectores. No, el vector cero sigue siendo un vector. La mejor manera de mostrar esta ecuación sería:
En esta versión, hay un vector igual a un vector. Eso es mejor.
Déjame terminar con dos notas. En primer lugar, ya he hablado antes de los vectores. Uno de mis posts favoritos es esta respuesta a Khan Academy sobre los vectores. Esencialmente, se trata de la segunda parte de una discusión sobre la resolución de problemas de cinemática en la que sostengo que se pueden seguir utilizando vectores aunque se trate de un problema unidimensional. En segundo lugar, si quieres poner vectores iguales al vector cero, asegúrate de llamarlo vector cero y no sólo «cero».