Log-asteikko kertoo suhteellisista muutoksista (multiplikatiivinen), kun taas lineaarinen asteikko kertoo absoluuttisista muutoksista (additiivinen). Milloin käytät kumpaakin? Kun välität suhteellisista muutoksista, käytä log-asteikkoa; kun välität absoluuttisista muutoksista, käytä lineaarista asteikkoa. Tämä pätee jakaumiin, mutta myös mihin tahansa suureeseen tai suureiden muutoksiin.
Huomaa, että käytän tässä sanaa ”välittää” hyvin tarkasti ja tarkoituksella. Ilman mallia tai tavoitetta kysymykseesi ei voida vastata; malli tai tavoite määrittelee, mikä mittakaava on tärkeä. Jos yrität mallintaa jotakin, ja mekanismi toimii suhteellisen muutoksen kautta, log-asteikko on kriittinen aineistossasi nähdyn käyttäytymisen vangitsemiseksi. Mutta jos mallin taustalla oleva mekanismi on additiivinen, haluat käyttää lineaarista asteikkoa.
Esimerkki. Osakemarkkinat.
Osake A päivänä 1: $\$$100. Päivänä 2: 101 dollaria. Jokainen maailman osakeseurantapalvelu ilmoittaa tämän muutoksen kahdella tavalla! (1) +$\$$1. (2) +1%. Ensimmäinen on absoluuttisen, additiivisen muutoksen mitta; toinen on suhteellisen muutoksen mitta.
Kuvio suhteellisesta muutoksesta vs. absoluuttisesta muutoksesta: Suhteellinen muutos on sama, absoluuttinen muutos on erilainen
Asake A nousee $\$$1:stä $\$$1,10:een.Osake B nousee $\$$100:sta $\$$110:een.
Asake A voitti 10 %, osake B voitti 10 % (suhteellinen asteikko, sama)
…mutta osake A voitti 10 senttiä, kun taas osake B voitti $\$$$10 (B voitti enemmän absoluuttista dollarimäärää)
Jos muunnamme log-avaruuteen, suhteelliset muutokset näkyvät absoluuttisina muutoksina.
Asake A muuttuu $\log_{10}(\$1)$:sta $\log_{10}(\$1.10)$:ksi = 0:sta .0413:een
Asake B muuttuu $\log_{10}(\$100)$:sta $\log_{10}(\$110)$:ksi = 2:sta 2:een.0413
Nyt kun otamme absoluuttisen eron log-avaruudessa, huomaamme, että molemmat muuttuivat 0,0413:lla.
Kumpikin näistä muutosten mittareista on tärkeä, ja se, kumpi niistä on sinulle tärkeä, riippuu yksinomaan sinun sijoitusmallistasi. Malleja on kaksi. (1) Sijoittaminen kiinteällä pääomamäärällä tai (2) sijoittaminen kiinteään määrään osakkeita.
Malli 1: Sijoittaminen kiinteällä pääomamäärällä.
Esitettäköön, että eilen osake A maksoi $\$$1 osakkeelta ja osake B $\$$100 osakkeelta. Tänään ne molemmat ovat nousseet yhden dollarin verran eli $\$2 ja $\$101. Niiden absoluuttinen muutos on sama ($\$$1), mutta niiden suhteellinen muutos on dramaattisen erilainen (100 % A:lle, 1 % B:lle). Koska sinulla on kiinteä määrä sijoitettavaa pääomaa, vaikkapa $\$$100, sinulla on varaa vain yhteen B:n osakkeeseen tai 100 A:n osakkeeseen. Jos sijoittaisit eilen, sinulla olisi $\$200 A:n osakkeella tai $\$101 B:n osakkeella. Tässä tapauksessa siis ”välität” suhteellisista voitoista nimenomaan siksi, että sinulla on rajallinen määrä pääomaa.
Malli 2: kiinteä määrä osakkeita.
Toisessa skenaariossa oletetaan, että pankkisi antaa sinun ostaa vain 100 osakkeen suuruisina kokonaisuuksina, ja olet päättänyt sijoittaa 100 osakkeeseen A:ta tai B:tä. Edellisessä tapauksessa riippumatta siitä, ostatko A:ta vai B:tä, voittosi ovat samat ($\$$100 – eli 1 $ kustakin osakkeesta).
Asettakaamme nyt, että ajattelemme osakkeen arvon satunnaismuuttujana, joka heilahtaa ajan mittaan, ja haluamme kehittää mallin, joka heijastelee yleisesti sitä, miten osakkeet käyttäytyvät. Ja oletetaan, että haluamme käyttää tätä mallia voiton maksimointiin. Laskemme todennäköisyysjakauman, jonka x-arvot ovat yksikköinä ”osakkeen hinta” ja y-arvot todennäköisyytenä havaita tietty osakkeen hinta. Teemme tämän osakkeelle A ja osakkeelle B. Jos hyväksyt ensimmäisen skenaarion, jossa sinulla on kiinteä määrä pääomaa, jonka haluat sijoittaa, näiden jakaumien loggaaminen on informatiivista. Miksi? Sinua kiinnostaa jakauman muoto suhteellisessa tilassa. Eihän sinulle ole väliä, meneekö osake 1:stä 10:een vai 10:stä 100:aan, vai mitä? Molemmissa tapauksissa kyseessä on 10-kertainen suhteellinen nousu. Tämä näkyy luonnollisesti log-asteikollisessa jakaumassa siten, että yksikkövoitot vastaavat suoraan moninkertaisia voittoja. Kahdella osakkeella, joiden keskiarvo on erilainen, mutta joiden suhteellinen muutos on identtisesti jakautunut (niillä on sama päivittäisten prosenttimuutosten jakauma), niiden log-jakaumat ovat muodoltaan identtisiä vain siirtyneinä. Sitä vastoin niiden lineaariset jakaumat eivät ole muodoltaan identtisiä, ja korkeamman arvon jakaumalla on suurempi varianssi.
Jos tarkastelisi näitä samoja jakaumia lineaarisessa eli absoluuttisessa avaruudessa, luulisi, että korkeamman arvon osakekurssit vastaavat suurempia vaihteluita. Sijoitustarkoituksessa, jossa vain suhteellisilla voitoilla on merkitystä, tämä ei kuitenkaan välttämättä pidä paikkaansa.
Esimerkki 2. Kemialliset reaktiot: Oletetaan, että meillä on kaksi molekyyliä A ja B, jotka käyvät läpi palautuvan reaktion.
$A\Vasemmanpuoleinennuoli B$
joka määritellään yksittäisten nopeusvakioiden
($k_{ab}$) $A\Oikeanpuoleinennuoli B$($k_{ba}$) $B\Oikeanpuoleinennuoli A$
Neidän tasapainonsa määritellään suhteen avulla:
$K=\\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{}{}$
Tässä on kaksi kohtaa. (1) Tämä on multiplikatiivinen suhde $A$:n ja $B$:n pitoisuuksien välillä. (2) Tämä suhde ei ole mielivaltainen, vaan se syntyy suoraan perustavanlaatuisista fysikaalis-kemiallisista ominaisuuksista, jotka säätelevät molekyylien törmäämistä toisiinsa ja reagoimista.
Asettakaamme nyt, että meillä on jokin jakauma A:n tai B:n konsentraatiolle. Tuon jakauman sopiva mittakaava on log-avaruudessa, koska malli siitä, miten jommankumman konsentraatio muuttuu, on määritelty multiplikatiivisesti (A:n konsentraation tulo B:n konsentraation käänteisluvulla). Jossain vaihtoehtoisessa universumissa, jossa $K^*=k_{ab}-k_{ba}=-$, voisimme tarkastella tätä konsentraatiojakaumaa absoluuttisessa, lineaarisessa avaruudessa.
Tämän sanottuasi, jos sinulla on malli, olipa se sitten pörssin ennustamista tai kemiallista kinetiikkaa varten, voit aina vaihtaa ”häviöttömästi” lineaarisen ja logaritmisen avaruuden välillä, kunhan arvojen vaihteluväli on $(0,\inf)$. Se, valitsetko lineaarisen vai log-asteikon jakauman, riippuu siitä, mitä yrität saada datasta irti.
EDIT. Mielenkiintoinen rinnastus, joka auttoi minua rakentamaan intuitiota, on esimerkki aritmeettisista keskiarvoista vs. geometrisista keskiarvoista. Aritmeettinen (vaniljainen) keskiarvo laskee lukujen keskiarvon olettaen piilomallin, jossa absoluuttisilla eroilla on merkitystä. Esimerkki. Aritmeettinen keskiarvo luvuista 1 ja 100 on 50,5. Oletetaan kuitenkin, että puhumme pitoisuuksista, joissa pitoisuuksien välinen kemiallinen suhde on multiplikatiivinen. Silloin keskimääräinen pitoisuus pitäisi oikeastaan laskea logaritmisella asteikolla. Tätä kutsutaan geometriseksi keskiarvoksi. 1:n ja 100:n geometrinen keskiarvo on 10! Suhteellisten erojen kannalta tämä on järkevää: 10/1 = 10 ja 100/10 = 10, eli suhteellinen muutos keskiarvon ja kahden arvon välillä on sama. Additiivisesti löydämme saman asian; 50,5-1= 49,5, ja 100-50,5 = 49,5.
.